Seja
e denote por
o campo de vetores normais exteriores à esfera
. Calcule a derivada direcional
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e um campo de vetores
que são normais exteriores à esfera
. O objetivo aqui é calcular a derivada direcional de
na direção de
, ou seja,
.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas direcionais e campos de vetores normais. Vamos passo a passo entender o que cada parte significa e como aplicar as fórmulas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
mede a taxa de variação de
na direção de
. A fórmula para calcular isso é:
Aqui,
é o gradiente da função
e
é o vetor unitário na direção de
. O gradiente aponta na direção de maior crescimento de
e sua magnitude é a taxa de variação nessa direção.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos determinar o vetor
, que é o campo de vetores normais exteriores à esfera
. Em uma esfera, os vetores normais exteriores são normais à superfície e apontam para fora. O vetor normal em um ponto
na esfera é simplesmente
.
Mas para calcular a derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção de
, isto é,
. Para isso, normalizamos
:
Como
está na esfera
, temos
. Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Fazendo o produto escalar:
Passo 6
Portanto, a derivada direcional de
na direção de
é:
Resposta
A derivada direcional é
.