Seja f(x, y, z) = 3x + 5y + 2z e denote por v o campo de vetores normais exteriores à esfera x^2 + y^2 + z^2 = R^2. Calcule a derivada direcional D_v f(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e um campo de vetores que são normais exteriores à esfera . O objetivo aqui é calcular a derivada direcional de na direção de , ou seja, .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas direcionais e campos de vetores normais. Vamos passo a passo entender o que cada parte significa e como aplicar as fórmulas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função na direção de um vetor mede a taxa de variação de na direção de . A fórmula para calcular isso é:
Aqui, é o gradiente da função e é o vetor unitário na direção de . O gradiente aponta na direção de maior crescimento de e sua magnitude é a taxa de variação nessa direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor , que é o campo de vetores normais exteriores à esfera . Em uma esfera, os vetores normais exteriores são normais à superfície e apontam para fora. O vetor normal em um ponto na esfera é simplesmente .
Mas para calcular a derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção de , isto é, . Para isso, normalizamos :
Como está na esfera , temos . Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Fazendo o produto escalar:

Passo 6

Portanto, a derivada direcional de na direção de é:

Resposta

A derivada direcional é .

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