Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para achar a transformada inversa de Laplace da função
. Vamos trabalhar com Transformadas de Laplace, que são usadas para resolver equações diferenciais transformando-as em funções algébricas mais fáceis de lidar. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples usando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. Queremos encontrar constantes A, B e C tais que:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandimos cada termo:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, de
, temos:
Substituímos A em
:
Por fim, substituímos A e B em
:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de A, B e C na decomposição inicial:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável em cada ponto do círculo
. Mostre que a derivada direcional de
no ponto
na direção da tangente ao círculo é
.
Calcule a derivada direcional
nos seguintes casos:
(b) e
.
(b)
Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(d) .
(d)
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função: