Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para achar a transformada inversa de Laplace da função . Vamos trabalhar com Transformadas de Laplace, que são usadas para resolver equações diferenciais transformando-as em funções algébricas mais fáceis de lidar. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes A, B e C tais que:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandimos cada termo:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, de , temos:
Substituímos A em :
Por fim, substituímos A e B em :

Passo 7

Agora, substituímos os valores de A, B e C na decomposição inicial:

Passo 8

Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Seja uma função diferenciável em cada ponto do círculo . Mostre que a derivada direcional de no ponto na direção da tangente ao círculo é .
Calcule a derivada direcional nos seguintes casos:
(b) e .
Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(d) .
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função: