Seja uma função diferenciável em cada ponto do círculo . Mostre que a derivada direcional de no ponto na direção da tangente ao círculo é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a derivada direcional da função no ponto na direção da tangente ao círculo é igual a . Vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar um vetor tangente ao círculo e aplicar a fórmula da derivada direcional usando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Matematicamente, se temos um vetor de direção , a derivada direcional de na direção de é dada por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor tangente ao círculo no ponto . Para isso, vamos derivar a equação do círculo em relação a um parâmetro que representa uma trajetória ao longo do círculo. Suponha que e descrevem uma posição no círculo, então:
Isso simplifica para:
Isso significa que o vetor tangente satisfaz , onde e .
Uma escolha comum para um vetor que satisfaz essa condição é . Vamos verificar:
Então, é de fato um vetor tangente ao círculo no ponto .

Passo 4

Agora que temos o vetor tangente , podemos usar a fórmula da derivada direcional. Primeiro, precisamos verificar se é um vetor unitário. Calculando o módulo de :
Portanto, já é um vetor unitário. A derivada direcional na direção de é então:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção da tangente ao círculo é .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada direcional nos seguintes casos:
(b) e .
Calcule a derivada direcional da função , no ponto , na direção indicada.
(a) na direção da reta .
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:
Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(d) .