Seja
uma função diferenciável em cada ponto do círculo
. Mostre que a derivada direcional de
no ponto
na direção da tangente ao círculo é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a derivada direcional da função
no ponto
na direção da tangente ao círculo
é igual a
. Vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar um vetor tangente ao círculo e aplicar a fórmula da derivada direcional usando o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto. Matematicamente, se temos um vetor de direção
, a derivada direcional de
na direção de
é dada por:
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor tangente ao círculo
no ponto
. Para isso, vamos derivar a equação do círculo em relação a um parâmetro
que representa uma trajetória ao longo do círculo. Suponha que
e
descrevem uma posição no círculo, então:
Isso simplifica para:
Isso significa que o vetor tangente
satisfaz
, onde
e
.
Uma escolha comum para um vetor que satisfaz essa condição é
. Vamos verificar:
Então,
é de fato um vetor tangente ao círculo no ponto
.
Passo 4
Agora que temos o vetor tangente
, podemos usar a fórmula da derivada direcional. Primeiro, precisamos verificar se
é um vetor unitário. Calculando o módulo de
:
Portanto,
já é um vetor unitário. A derivada direcional na direção de
é então:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção da tangente ao círculo é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional
nos seguintes casos:
(b) e
.
(b)
Calcule a derivada direcional da função
, no ponto
, na direção indicada.
(a) na direção da reta
.
(a)
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:
Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(d) .
(d)