Seja z = f(x, y) uma função diferenciável em cada ponto do círculo x^2 + y^2 = 1. Mostre que a derivada direcional de f no ponto (x, y) na direção da tangente ao círculo é -y * f_x + x * f_y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a derivada direcional da função no ponto na direção da tangente ao círculo é igual a . Vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar um vetor tangente ao círculo e aplicar a fórmula da derivada direcional usando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Matematicamente, se temos um vetor de direção , a derivada direcional de na direção de é dada por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor tangente ao círculo no ponto . Para isso, vamos derivar a equação do círculo em relação a um parâmetro que representa uma trajetória ao longo do círculo. Suponha que e descrevem uma posição no círculo, então:
Isso simplifica para:
Isso significa que o vetor tangente satisfaz , onde e .
Uma escolha comum para um vetor que satisfaz essa condição é . Vamos verificar:
Então, é de fato um vetor tangente ao círculo no ponto .

Passo 4

Agora que temos o vetor tangente , podemos usar a fórmula da derivada direcional. Primeiro, precisamos verificar se é um vetor unitário. Calculando o módulo de :
Portanto, já é um vetor unitário. A derivada direcional na direção de é então:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção da tangente ao círculo é .

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