Calcule a derivada direcional nos seguintes casos:
(b) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e fazer um produto escalar com o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculemos a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
E finalmente, a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente da função é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:

Passo 5

Por fim, para encontrar a derivada direcional , fazemos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor direção :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional no ponto na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada direcional da função , no ponto , na direção indicada.
(a) na direção da reta .
Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(b) Toda sequência limitada é monótona.
Seja uma função diferenciável em cada ponto do círculo . Mostre que a derivada direcional de no ponto na direção da tangente ao círculo é .
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função: