Calcule a derivada direcional
nos seguintes casos:
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
. Vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e fazer um produto escalar com o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente, denotado por
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
E finalmente, a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente da função é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Passo 5
Por fim, para encontrar a derivada direcional
, fazemos o produto escalar entre o gradiente no ponto
e o vetor direção
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional da função
, no ponto
, na direção indicada.
(a) na direção da reta
.
(a)
Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(b) Toda sequência limitada é monótona.
(b) Toda sequência limitada é monótona.
Seja
uma função diferenciável em cada ponto do círculo
. Mostre que a derivada direcional de
no ponto
na direção da tangente ao círculo é
.
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função: