Calcule a derivada direcional partial fpartial u nos seguintes casos:
(b) f(x, y, z)=x^2 y+3 y z^2 ; P0(1,-1,1) e u=13 i-23 j+23 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e fazer um produto escalar com o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculemos a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x (x^2 y + 3 y z^2) = 2x y em relação a partial fpartial y = partialpartial y (x^2 y + 3 y z^2) = x^2 + 3 z^2 :
partial fpartial z = partialpartial z (x^2 y + 3 y z^2) = 6 y z
Agora, a derivada parcial em relação a nabla f = ( 2x y, , x^2 + 3 z^2, , 6 y z ) :
E finalmente, a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente da função é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(P0) = ( 2 cdot 1 cdot (-1), , 1^2 + 3 cdot 1^2, , 6 cdot (-1) cdot 1 ) = ( -2, , 1 + 3, , -6 ) = ( -2, , 4, , -6 ) . Substituindo , e na expressão do gradiente:

Passo 5

Por fim, para encontrar a derivada direcional partial fpartial u = nabla f(P0) cdot u = (-2, , 4, , -6) cdot ( 13, , -23, , 23 ) , fazemos o produto escalar entre o gradiente no ponto partial fpartial u = (-2) cdot 13 + 4 cdot ( -23 ) + (-6) cdot 23 = -23 - 83 - 123 = -223 e o vetor direção :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional no ponto na direção do vetor é .

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