Ache a transformada de Laplace de cada uma das funções: .

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a transformada de Laplace da função , onde é um número real. A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, . Então, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos expandir o termo para facilitar a integração:
Assim, nossa integral fica:
Podemos separar essa integral em três partes:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Sabemos que:
Usando essas transformadas:

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo:
Para deixar mais organizado, podemos escrever os termos na ordem decrescente dos denominadores:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Ache a transformada inversa de Laplace de cada função: