Ache a transformada de Laplace de cada uma das funções:
.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a transformada de Laplace da função
, onde
é um número real. A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso,
. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos expandir o termo
para facilitar a integração:
Assim, nossa integral fica:
Podemos separar essa integral em três partes:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Sabemos que:
Usando essas transformadas:
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo:
Para deixar mais organizado, podemos escrever os termos na ordem decrescente dos denominadores:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Dada uma função real derivável
, mostre que as funções
e
satisfazem às relações:
e
.
Uma indústria produz dez mil caixas de papelão fechadas com dimensões
e
. Se o custo do papelão é de
por
e as máquinas usadas no corte do papelão cometem erro de 0.05 dm em cada dimensão, qual o erro aproximado na estimação do custo do papelão?
Resolva o P.V.I.
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função: