Resolva o P.V.I.
Passo 1
Vamos resolver o Problema de Valor Inicial (P.V.I.) dado por
com as condições iniciais
e
. Esse exercício envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação característica, determinar suas raízes e usar as condições iniciais para achar os valores das constantes na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar essa equação da seguinte maneira:
Isso nos dá as raízes:
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições iniciais. Primeiro, aplicamos
:
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada de
:
Aplicamos a condição
:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do P.V.I. é: