Resolva o P.V.I.

Passo 1

Vamos resolver o Problema de Valor Inicial (P.V.I.) dado por com as condições iniciais e . Esse exercício envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação característica, determinar suas raízes e usar as condições iniciais para achar os valores das constantes na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar essa equação da seguinte maneira:
Isso nos dá as raízes:

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo e :

Passo 5

Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais. Primeiro, aplicamos :

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada de :
Aplicamos a condição :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do P.V.I. é:

Exercícios relacionados

Ache a transformada de Laplace de cada uma das funções: .
Dada uma função real derivável , mostre que as funções e satisfazem às relações: e .
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:
Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(a) Toda sequência limitada é convergente.