Dada uma função real derivável
, mostre que as funções
e
satisfazem às relações:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que duas funções,
e
, cumprem certas relações envolvendo suas derivadas parciais. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Precisaremos calcular as derivadas de
e
em relação a
e
e verificar as igualdades dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a função
. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculando
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Somando
e
:
Então, mostramos que
.
Passo 6
Agora, vamos para a função
. Precisamos encontrar
e
.
Passo 7
Calculando
, a derivada de
em relação a
:
Passo 8
Calculando
, a derivada de
em relação a
:
Passo 9
Agora, substituindo
e
na relação
:
Então, mostramos que
.
Resposta
As funções
e
satisfazem respectivamente
e
.