Dada uma função real derivável , mostre que as funções e satisfazem às relações: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que duas funções, e , cumprem certas relações envolvendo suas derivadas parciais. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Precisaremos calcular as derivadas de e em relação a e e verificar as igualdades dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a função . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando , que é a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, calculando , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Somando e :
Então, mostramos que .

Passo 6

Agora, vamos para a função . Precisamos encontrar e .

Passo 7

Calculando , a derivada de em relação a :

Passo 8

Calculando , a derivada de em relação a :

Passo 9

Agora, substituindo e na relação :
Então, mostramos que .

Resposta

As funções e satisfazem respectivamente e .

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