Uma indústria produz dez mil caixas de papelão fechadas com dimensões
e
. Se o custo do papelão é de
por
e as máquinas usadas no corte do papelão cometem erro de 0.05 dm em cada dimensão, qual o erro aproximado na estimação do custo do papelão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma fábrica produz 10.000 caixas de papelão com dimensões de 3 dm, 4 dm e 5 dm. O custo do papelão é de R$0,05 por dm². Mas as máquinas que cortam o papelão têm um errinho de ±0,05 dm em cada dimensão. Nosso objetivo é descobrir qual é o erro aproximado na estimativa do custo do papelão por causa desses erros nas medidas. Vamos usar conceitos de cálculo de erros para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a área total de papelão utilizada para uma caixa. Sabemos que uma caixa retangular tem 6 faces, então vamos calcular a área total de uma caixa.
A área total
de uma caixa com dimensões
,
e
é dada por:
No nosso caso,
dm,
dm e
dm.
Passo 3
Vamos calcular a área total de uma caixa:
Então, cada caixa usa 94 dm² de papelão.
Passo 4
Agora, como a fábrica produz 10.000 caixas, a área total utilizada é:
E o custo total sem considerar erros nas dimensões seria:
Passo 5
Mas temos um errinho de ±0,05 dm em cada dimensão. Vamos usar o conceito de diferenciação para estimar como esses pequenos erros nas medidas afetam a área total.
A fórmula da área total
em função das dimensões é:
O erro na área
pode ser aproximado por:
Mas como a variação é a mesma para todas as dimensões (
dm), a fórmula simplifica para:
Passo 6
Substituindo os valores:
Esse é o erro na área de uma caixa. Para 10.000 caixas, o erro total na área é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o erro no custo, já que cada dm² custa R$0,05:
Resposta
O erro aproximado na estimação do custo do papelão é de R$1.200.
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©
©
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, mostre que as funções
e
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e
.
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.