Ache a Transformada de Laplace imversa das funçóes:
Passo 1
Então, temos uma questão sobre Transformada de Laplace. O que precisamos fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace inversa da função dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar as propriedades das Transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observando a fração:
O grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são 3), então podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar.
Dividindo
por
:
Então, reescrevemos
assim:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia aqui é quebrar a fração em partes mais simples que temos fórmula para encontrar a transformada inversa.
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
- De
, encontramos . - De
, com , temos . - Já temos
.
Passo 4
Substituindo os valores de
,
e
na decomposição inicial:
Então, a expressão completa de
fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente.
-
Transformada inversa de 1:Onde
é a função delta de Dirac, representando uma impulsão no instante . -
Transformada inversa de
:Porque . -
Transformada inversa de
:Sabemos que:Aqui, , então: -
Transformada inversa de
:Sabemos que:Aqui, , então:
Resposta
A Transformada de Laplace inversa de
é:
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“3.85ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 1701.7 1000”><title>\mathscr{L}{ }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“2112” d=“M572 704Q607 704 607 693Q607 681 590 664H588Q586 664 584 664T578 663Q504 658 434 592T363 457Q363 426 386 401Q417 371 481 361Q490 360 527 360H562Q565 363 595 404T666 494T755 596T854 682T945 717Q986 717 1010 696T1035 637Q1035 593 996 531T873 414Q809 378 753 360T674 338T651 333Q650 333 633 308T588 245T544 185Q498 126 426 78L413 68H414Q498 47 575 47Q626 47 676 74T755 139L762 148H779H783Q802 148 802 142Q802 137 795 129Q760 81 691 33T544 -16Q470 -16 366 20L341 29L331 24Q239 -17 155 -17H141Q90 -17 61 -12T23 1T14 22Q14 44 39 65T103 95Q126 101 180 101Q224 101 258 98T309 90T330 86Q332 86 353 103T389 135Q401 146 412 158T431 179T450 203T466 225T485 252T505 280L535 322H509Q391 322 340 362T289 452Q289 495 321 547T396 630Q438 665 486 684T572 704ZM978 635Q978 644 977 650T973 661T968 668T961 673T954 676T946 678T938 680Q929 680 925 677Q893 659 795 531T682 377Q683 377 711 385T755 401T801 421T856 453T906 495Q927 516 952 557T978 635ZM274 50Q274 51 258 54T216 61T166 65Q160 65 151 65T140 64Q115 58 102 48T88 31Q88 20 159 20Q191 20 219 27T261 42L274 50Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(1201.7,0)”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“7B” d=“M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(500,0) translate(0 250)”></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> sent <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.442ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 5057.2 1199”><title>U(t - pi/2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 250)”></g><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“22C5” d=“M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(278,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“55” d=“M8 592Q8 616 70 649T193 683Q246 683 246 631Q246 587 205 492T124 297T83 143Q83 101 100 75T154 48Q202 48 287 135T450 342T560 553Q589 635 593 640Q603 656 626 668T669 683H670Q687 683 687 672T670 616T617 463T547 220Q525 137 521 68Q521 54 522 50T533 42L543 47Q573 61 588 61Q604 61 604 47Q599 16 506 -22Q486 -28 468 -28T436 -18T421 18Q421 92 468 258Q468 259 467 257T459 248Q426 206 391 167T303 81T194 6T83 -22Q66 -22 58 -20Q25 -11 4 19T-17 99Q-17 146 8 220T64 358T120 488T146 586Q146 604 141 608T123 613H120Q99 613 72 597T25 580Q8 580 8 592Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(1131.7,0)”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“28” d=“M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(458,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1041.2,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mfrac” transform=“translate(2041.4,0)”><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(220,394) scale(0.707)”><path data-c=“1D70B” d=“M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(244.7,-345) scale(0.707)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><rect width=“603.1” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2884.5,0) translate(0 -0.5)”><path data-c=“29” d=“M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(4474.2,0) translate(0 -0.5)”><path data-c=“7D” d=“M110 849L115 850Q120 850 125 850Q151 850 215 826T309 764Q324 747 332 714L333 552Q333 528 333 489Q334 383 338 373Q339 372 339 371Q353 336 391 310T469 271Q477 268 477 251Q477 241 476 237T472 232T456 225T428 214Q357 179 339 130Q339 129 338 128Q334 117 333 32Q333 26 333 12Q333 -27 333 -51L332 -212Q328 -228 323 -240T302 -271T255 -307T175 -338Q139 -349 125 -349T108 -346T105 -329Q105 -314 107 -312T130 -304Q233 -271 248 -209Q249 -203 249 -49V57Q249 106 253 125T273 167Q307 213 398 245L413 251L401 255Q265 300 250 389Q249 395 249 550Q249 710 244 724Q224 774 112 811Q105 813 105 830Q105 845 110 849Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“3.85ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 1701.7 1000”><title>\mathscr{L}{ }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“2112” d=“M572 704Q607 704 607 693Q607 681 590 664H588Q586 664 584 664T578 663Q504 658 434 592T363 457Q363 426 386 401Q417 371 481 361Q490 360 527 360H562Q565 363 595 404T666 494T755 596T854 682T945 717Q986 717 1010 696T1035 637Q1035 593 996 531T873 414Q809 378 753 360T674 338T651 333Q650 333 633 308T588 245T544 185Q498 126 426 78L413 68H414Q498 47 575 47Q626 47 676 74T755 139L762 148H779H783Q802 148 802 142Q802 137 795 129Q760 81 691 33T544 -16Q470 -16 366 20L341 29L331 24Q239 -17 155 -17H141Q90 -17 61 -12T23 1T14 22Q14 44 39 65T103 95Q126 101 180 101Q224 101 258 98T309 90T330 86Q332 86 353 103T389 135Q401 146 412 158T431 179T450 203T466 225T485 252T505 280L535 322H509Q391 322 340 362T289 452Q289 495 321 547T396 630Q438 665 486 684T572 704ZM978 635Q978 644 977 650T973 661T968 668T961 673T954 676T946 678T938 680Q929 680 925 677Q893 659 795 531T682 377Q683 377 711 385T755 401T801 421T856 453T906 495Q927 516 952 557T978 635ZM274 50Q274 51 258 54T216 61T166 65Q160 65 151 65T140 64Q115 58 102 48T88 31Q88 20 159 20Q191 20 219 27T261 42L274 50Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(1201.7,0)”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“7B” d=“M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(500,0) translate(0 250)”></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> sent <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.442ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 5057.2 1199”><title>U(t - pi/2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 250)”></g><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“22C5” d=“M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(278,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“55” d=“M8 592Q8 616 70 649T193 683Q246 683 246 631Q246 587 205 492T124 297T83 143Q83 101 100 75T154 48Q202 48 287 135T450 342T560 553Q589 635 593 640Q603 656 626 668T669 683H670Q687 683 687 672T670 616T617 463T547 220Q525 137 521 68Q521 54 522 50T533 42L543 47Q573 61 588 61Q604 61 604 47Q599 16 506 -22Q486 -28 468 -28T436 -18T421 18Q421 92 468 258Q468 259 467 257T459 248Q426 206 391 167T303 81T194 6T83 -22Q66 -22 58 -20Q25 -11 4 19T-17 99Q-17 146 8 220T64 358T120 488T146 586Q146 604 141 608T123 613H120Q99 613 72 597T25 580Q8 580 8 592Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(1131.7,0)”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“28” d=“M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(458,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1041.2,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mfrac” transform=“translate(2041.4,0)”><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(220,394) scale(0.707)”><path data-c=“1D70B” d=“M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(244.7,-345) scale(0.707)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><rect width=“603.1” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2884.5,0) translate(0 -0.5)”><path data-c=“29” d=“M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(4474.2,0) translate(0 -0.5)”><path data-c=“7D” d=“M110 849L115 850Q120 850 125 850Q151 850 215 826T309 764Q324 747 332 714L333 552Q333 528 333 489Q334 383 338 373Q339 372 339 371Q353 336 391 310T469 271Q477 268 477 251Q477 241 476 237T472 232T456 225T428 214Q357 179 339 130Q339 129 338 128Q334 117 333 32Q333 26 333 12Q333 -27 333 -51L332 -212Q328 -228 323 -240T302 -271T255 -307T175 -338Q139 -349 125 -349T108 -346T105 -329Q105 -314 107 -312T130 -304Q233 -271 248 -209Q249 -203 249 -49V57Q249 106 253 125T273 167Q307 213 398 245L413 251L401 255Q265 300 250 389Q249 395 249 550Q249 710 244 724Q224 774 112 811Q105 813 105 830Q105 845 110 849Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
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<html><head></head><body><div>Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -5.347ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“30.087ex” height=“11.826ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -2863.5 13298.6 5226.9”><title>y’’’ + 2y’’ - y’ - 2y = sen(3t) ; y(0) = 0 ; y’(0) = 0 ; y’’(0) = 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“23A7” d=“M712 899L718 893V876V865Q718 854 704 846Q627 793 577 710T510 525Q510 524 509 521Q505 493 504 349Q504 345 504 334Q504 277 504 240Q504 -2 503 -4Q502 -8 494 -9T444 -10Q392 -10 390 -9Q387 -8 386 -5Q384 5 384 230Q384 262 384 312T383 382Q383 481 392 535T434 656Q510 806 664 892L677 899H712Z” transform=“translate(0,1964.5)”></path><path data-c=“23A9” d=“M718 -893L712 -899H677L666 -893Q542 -825 468 -714T385 -476Q384 -466 384 -282Q384 3 385 5L389 9Q392 10 444 10Q486 10 494 9T503 4Q504 2 504 -239V-310V-366Q504 -470 508 -513T530 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