Ache a Transformada de Laplace imversa das funçóes: F(s) = (s*s^2 - 4*s + 12) / (s*(s^2 + 4))

Passo 1

Então, temos uma questão sobre Transformada de Laplace. O que precisamos fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace inversa da função dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar as propriedades das Transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Observando a fração:
O grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são 3), então podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar.
Dividindo por :
Então, reescrevemos assim:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. A ideia aqui é quebrar a fração em partes mais simples que temos fórmula para encontrar a transformada inversa.
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  • De , encontramos .
  • De , com , temos .
  • Já temos .

Passo 4

Substituindo os valores de , e na decomposição inicial:
Então, a expressão completa de fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente.
  1. Transformada inversa de 1:
    Onde é a função delta de Dirac, representando uma impulsão no instante .
  2. Transformada inversa de :
    Porque .
  3. Transformada inversa de :
    Sabemos que:
    Aqui, , então:
  4. Transformada inversa de :
    Sabemos que:
    Aqui, , então:

Resposta

A Transformada de Laplace inversa de é:

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