Ache a Transformada de Laplace imversa das funçóes:
Passo 1
Então, temos uma questão sobre Transformada de Laplace. O que precisamos fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace inversa da função dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar as propriedades das Transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Observando a fração:
O grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são 3), então podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar.
Dividindo por :
Então, reescrevemos assim:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. A ideia aqui é quebrar a fração em partes mais simples que temos fórmula para encontrar a transformada inversa.
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
De , encontramos .
De , com , temos .
Já temos .
Passo 4
Substituindo os valores de , e na decomposição inicial:
Então, a expressão completa de fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente.
Transformada inversa de 1:
Onde é a função delta de Dirac, representando uma impulsão no instante .