Faça o gráfico de
e calcuie a sua Transformada de Laplace se:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente fazer o gráfico da função
e calcular a sua Transformada de Laplace. O conteúdo aqui envolve funções por partes e transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar uma função que muda de comportamento em diferentes intervalos e como aplicar a fórmula da Transformada de Laplace para funções que começam em um certo ponto no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida por partes:
Isso significa que para todo
entre 0 e 2, a função vale zero. A partir de
, ela passa a seguir a lei
, ou seja, um polinômio quadrático deslocado para a direita em 2 unidades no tempo.
Passo 3
Agora, vamos fazer o gráfico dessa função. Até
, a função está no zero, então desenhamos uma linha horizontal nesse valor. No ponto
, a função começa a crescer seguindo a parábola
. Então, o gráfico vai ficar assim:
- Linha horizontal em
de até . - A partir de
, a função sobe de forma quadrática.
Passo 4
Para calcular a Transformada de Laplace de
, vamos lembrar que:
Como a função
é zero até
, podemos ajustar os limites da integral:
Passo 5
Vamos usar a propriedade da Transformada de Laplace para funções com deslocamento no tempo. Sabemos que:
onde
é a função de Heaviside que “liga” a função em
.
No nosso caso,
e
. Então, aplicando a fórmula:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.254ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.367ex” height=“3.488ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -987.7 7234.1 1541.8”><title>F(s) = (ss^2 - 4s + 12) / (s*(s^2 + 4))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D439” d=“M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 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<html><head></head><body><div>Sendo a uma constante, calcule a transformada de l-aplace das funcoles: <span class=“math-inline “>
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