Faça o gráfico de f(t) e calcuie a sua Transformada de Laplace se: f(t) = { 0, 0 <= t < 2; (t - 2)^2, t >= 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente fazer o gráfico da função e calcular a sua Transformada de Laplace. O conteúdo aqui envolve funções por partes e transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar uma função que muda de comportamento em diferentes intervalos e como aplicar a fórmula da Transformada de Laplace para funções que começam em um certo ponto no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida por partes:
Isso significa que para todo entre 0 e 2, a função vale zero. A partir de , ela passa a seguir a lei , ou seja, um polinômio quadrático deslocado para a direita em 2 unidades no tempo.

Passo 3

Agora, vamos fazer o gráfico dessa função. Até , a função está no zero, então desenhamos uma linha horizontal nesse valor. No ponto , a função começa a crescer seguindo a parábola . Então, o gráfico vai ficar assim:
  1. Linha horizontal em de até .
  2. A partir de , a função sobe de forma quadrática.

Passo 4

Para calcular a Transformada de Laplace de , vamos lembrar que:
Como a função é zero até , podemos ajustar os limites da integral:

Passo 5

Vamos usar a propriedade da Transformada de Laplace para funções com deslocamento no tempo. Sabemos que:
onde é a função de Heaviside que “liga” a função em .
No nosso caso, e . Então, aplicando a fórmula:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados