Faça o gráfico de
e calcuie a sua Transformada de Laplace se:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente fazer o gráfico da função
e calcular a sua Transformada de Laplace. O conteúdo aqui envolve funções por partes e transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar uma função que muda de comportamento em diferentes intervalos e como aplicar a fórmula da Transformada de Laplace para funções que começam em um certo ponto no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida por partes:
Isso significa que para todo
entre 0 e 2, a função vale zero. A partir de
, ela passa a seguir a lei
, ou seja, um polinômio quadrático deslocado para a direita em 2 unidades no tempo.
Passo 3
Agora, vamos fazer o gráfico dessa função. Até
, a função está no zero, então desenhamos uma linha horizontal nesse valor. No ponto
, a função começa a crescer seguindo a parábola
. Então, o gráfico vai ficar assim:
- Linha horizontal em
de até . - A partir de
, a função sobe de forma quadrática.
Passo 4
Para calcular a Transformada de Laplace de
, vamos lembrar que:
Como a função
é zero até
, podemos ajustar os limites da integral:
Passo 5
Vamos usar a propriedade da Transformada de Laplace para funções com deslocamento no tempo. Sabemos que:
onde
é a função de Heaviside que “liga” a função em
.
No nosso caso,
e
. Então, aplicando a fórmula:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: