Calcule:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a transformada de Laplace da função . Isso envolve os conceitos de transformada de Laplace e da função degrau unitário (também conhecida como função de Heaviside). Vamos precisar entender como a transformada de Laplace funciona e como ela se aplica a funções multiplicadas por um degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Essa transformação é muito útil para resolver equações diferenciais, pois transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada: . Aqui,
é a função degrau unitário que “ativa” a função a partir de
. Isso significa que para
, a função é zero, e para
, a função é .
Passo 4
Para calcular a transformada de Laplace dessa função, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por um degrau unitário:
Onde
no nosso caso.
Passo 5
Aplicando essa propriedade, temos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar . Utilizando a identidade trigonométrica , temos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Resposta
A transformada de Laplace é: