Calcule:
\mathscr{L}{ } sent U(t - pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a transformada de Laplace da função . Isso envolve os conceitos de transformada de Laplace e da função degrau unitário (também conhecida como função de Heaviside). Vamos precisar entender como a transformada de Laplace funciona e como ela se aplica a funções multiplicadas por um degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Essa transformação é muito útil para resolver equações diferenciais, pois transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Aqui, é a função degrau unitário que “ativa” a função a partir de . Isso significa que para , a função é zero, e para , a função é .

Passo 4

Para calcular a transformada de Laplace dessa função, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por um degrau unitário:
Onde no nosso caso.

Passo 5

Aplicando essa propriedade, temos:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar . Utilizando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

A transformada de Laplace é:

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