Calcule:
\mathscr{L}{ } sent U(t - pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a transformada de Laplace da função . Isso envolve os conceitos de transformada de Laplace e da função degrau unitário (também conhecida como função de Heaviside). Vamos precisar entender como a transformada de Laplace funciona e como ela se aplica a funções multiplicadas por um degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Essa transformação é muito útil para resolver equações diferenciais, pois transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Aqui, é a função degrau unitário que “ativa” a função a partir de . Isso significa que para , a função é zero, e para , a função é .

Passo 4

Para calcular a transformada de Laplace dessa função, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por um degrau unitário:
Onde no nosso caso.

Passo 5

Aplicando essa propriedade, temos:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar . Utilizando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

A transformada de Laplace é:

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<html><head></head><body><div>Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -5.347ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“30.087ex” height=“11.826ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -2863.5 13298.6 5226.9”><title>y’’’ + 2y’’ - y’ - 2y = sen(3t) ; y(0) = 0 ; y’(0) = 0 ; y’’(0) = 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“23A7” d=“M712 899L718 893V876V865Q718 854 704 846Q627 793 577 710T510 525Q510 524 509 521Q505 493 504 349Q504 345 504 334Q504 277 504 240Q504 -2 503 -4Q502 -8 494 -9T444 -10Q392 -10 390 -9Q387 -8 386 -5Q384 5 384 230Q384 262 384 312T383 382Q383 481 392 535T434 656Q510 806 664 892L677 899H712Z” transform=“translate(0,1964.5)”></path><path data-c=“23A9” d=“M718 -893L712 -899H677L666 -893Q542 -825 468 -714T385 -476Q384 -466 384 -282Q384 3 385 5L389 9Q392 10 444 10Q486 10 494 9T503 4Q504 2 504 -239V-310V-366Q504 -470 508 -513T530 -609Q546 -657 569 -698T617 -767T661 -812T699 -843T717 -856T718 -876V-893Z” 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<html><head></head><body><div>Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -3.981ex;” xmlns=“
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