Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
ly^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime-2 y=sen(3 t) y(0)=0 y^prime(0)=0 y^prime prime(0)=1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisamos conhecer as propriedades da transformada de Laplace aplicadas a derivadas e à função seno.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de Ly''' + 2Ly'' - Ly' - 2Ly = Lsen(3t) é , onde é a Transformada de Laplace de .
Aplicando a transformada:

Passo 3

Agora, substituímos as transformadas das derivadas e da função seno:
Substituindo os valores das condições iniciais Ly''' &= s^3 Y(s) - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0) Ly'' &= s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) Ly' &= s Y(s) - y(0) Ly &= Y(s) Lsen(3t) &= 3s^2 + 9 , s^3 Y(s) - 0 - 0 - 1 + 2(s^2 Y(s) - 0 - 0) - (s Y(s) - 0) - 2Y(s) = 3s^2 + 9 e :

Passo 4

Simplificando a equação:
s^3 Y(s) - 1 + 2s^2 Y(s) - s Y(s) - 2Y(s) = 3s^2 + 9
Fatorando Y(s)(s^3 + 2s^2 - s - 2) - 1 = 3s^2 + 9 :
Y(s) = 1s^3 + 2s^2 - s - 2 ( 1 + 3s^2 + 9 )
Isolando :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador s^3 + 2s^2 - s - 2 = (s - 1)(s^2 + 3s + 2) = (s - 1)(s + 1)(s + 2) . Observando que Y(s) = 1(s - 1)(s + 1)(s + 2) ( 1 + 3s^2 + 9 ) é uma raiz:
Então, a expressão para fica:

Passo 6

Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos decompor em frações parciais:
Y(s) = As - 1 + Bs + 1 + Cs + 2 + D s + Es^2 + 9
Resolvendo para os coeficientes A = 1(1 - (-1))(1 - (-2)) = 1(2)(3) = 16 , encontramos:
B = 1((-1) - 1)((-1) - (-2)) = 1(-2)(1) = -12
C = 1((-2) - 1)((-2) - (-1)) = 1(-3)(-1) = 13
Para e , resolvemos a equação resultante e encontramos e .

Passo 7

Substituindo os valores de Y(s) = 16cdot1s - 1 - 12cdot1s + 1 + 13cdot1s + 2 + 13cdot1s^2 + 9 :

Passo 8

Aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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