Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisamos conhecer as propriedades da transformada de Laplace aplicadas a derivadas e à função seno.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de
é
, onde
é a Transformada de Laplace de
.
Aplicando a transformada:
Passo 3
Agora, substituímos as transformadas das derivadas e da função seno:
Substituindo os valores das condições iniciais
,
e
:
Passo 4
Simplificando a equação:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
. Observando que
é uma raiz:
Então, a expressão para
fica:
Passo 6
Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para os coeficientes
, encontramos:
Para
e
, resolvemos a equação resultante e encontramos
e
.
Passo 7
Substituindo os valores de
:
Passo 8
Aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -3.806ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“24.805ex” height=“8.744ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -2182.3 10963.6 3864.6”><title>y’’ + 4y’ + 6y = 1 + e^(-t), y(0) = 0, y’(0) = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“23A7” d=“M712 899L718 893V876V865Q718 854 704 846Q627 793 577 710T510 525Q510 524 509 521Q505 493 504 349Q504 345 504 334Q504 277 504 240Q504 -2 503 -4Q502 -8 494 -9T444 -10Q392 -10 390 -9Q387 -8 386 -5Q384 5 384 230Q384 262 384 312T383 382Q383 481 392 535T434 656Q510 806 664 892L677 899H712Z” transform=“translate(0,1283.3)”></path><path data-c=“23A9” d=“M718 -893L712 -899H677L666 -893Q542 -825 468 -714T385 -476Q384 -466 384 -282Q384 3 385 5L389 9Q392 10 444 10Q486 10 494 9T503 4Q504 2 504 -239V-310V-366Q504 -470 508 -513T530 -609Q546 -657 569 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