Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
f(x)=cos beta xa^4+x^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Fourier da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e propriedades das transformadas de Fourier. Vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Fourier e como lidar com funções que envolvem cossenos e polinômios no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A definição da Transformada de Fourier de uma função Ff(x)(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x dx é:
No nosso caso, queremos encontrar .

Passo 3

Vamos usar a propriedade da linearidade da Transformada de Fourier, que nos permite separar a função em partes mais simples. Sabemos que:
cos beta x = e^i beta x + e^-i beta x2
Então, podemos reescrever a função f(x) = 12 ( e^i beta xa^4 + x^4 + e^-i beta xa^4 + x^4 ) como:
Isso facilita a aplicação da Transformada de Fourier, pois agora temos duas exponenciais separadas.

Passo 4

Agora, aplicamos a Transformada de Fourier à função reescrita:
Ff(x)(omega) = 12 ( Fe^i beta xa^4 + x^4(omega) + Fe^-i beta xa^4 + x^4(omega) )
Mas sabemos que a Transformada de Fourier de Ff(x)(omega) = 12 ( G(omega - beta) + G(omega + beta) ) é , onde é a Transformada de . Analogamente, para , temos .
Então, se , sua Transformada de Fourier é . Assim, podemos reescrever:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar G(omega) = integral-infty^infty e^-i omega xa^4 + x^4 dx . Para isso, vamos utilizar uma integral conhecida envolvendo funções racionais e expoentes complexos. A integral típica para esse tipo de função envolve técnicas de integração no plano complexo, como o uso de resíduos.
A integral que precisamos calcular é:

Passo 6

Para resolver essa integral, reconhecemos que F1a^4 + x^4(omega) = pi2 a^3 e^- omegaa ( sin(omegaa) + cos(omegaa) ) pode ser fatorado usando números complexos. As raízes da equação são . Essas raízes são usadas no método de integração por resíduos.
No entanto, para simplificar, podemos consultar uma tabela de transformadas de Fourier ou usar uma propriedade conhecida dessa transformada. Verificando tabelas, sabemos que:

Passo 7

Voltando à nossa expressão para Ff(x)(omega) = 12 ( G(omega - beta) + G(omega + beta) ) :
Ff(x)(omega) = 12 ( pi2 a^3 e^- omega - betaa ( sin(omega - betaa) + cos(omega - betaa) ) + pi2 a^3 e^- omega + betaa ( sin(omega + betaa) + cos(omega + betaa) ) )
Substituindo pela expressão encontrada:

Passo 8

Simplificando a expressão, fatoramos os termos comuns:
Ff(x)(omega) = pi4 a^3 [ e^- omega - betaa ( sin(omega - betaa) + cos(omega - betaa) ) + e^- omega + betaa ( sin(omega + betaa) + cos(omega + betaa) ) ]

Resposta

A Transformada de Fourier da função Ff(x)(omega) = pi4 a^3 [ e^- omega - betaa ( sin(omega - betaa) + cos(omega - betaa) ) + e^- omega + betaa ( sin(omega + betaa) + cos(omega + betaa) ) ] é:

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