Considere agora a equação
Com as condições de contorno e , encontre pelo método de transformada de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Fourier. A equação que temos é:
Estamos trabalhando com derivadas em relação ao tempo ( ), e precisamos achar . Para isso, vamos usar a Transformada de Fourier, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Além disso, vamos considerar as condições de contorno e que é finito.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Fourier de uma derivada segunda é:
E a Transformada de Fourier de é simplesmente . Aplicando isso na equação original, temos:
Onde é a Transformada de Fourier de .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação algébrica que obtivemos:
Podemos fatorar :
Para facilitar, vamos reescrever isso como:

Passo 4

Agora que temos , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier para encontrar . A Transformada Inversa de Fourier é dada por:
Isso significa que vamos convoluir com a Transformada Inversa de .

Passo 5

Sabemos que:
Como estamos considerando , isso simplifica para:
Portanto, a solução para será a convolução de com .

Passo 6

Além disso, precisamos considerar a condição inicial . Para isso, adicionamos uma solução da equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação é:
Mas como deve ser finito, descartamos o termo , já que ele cresce sem limite. Então, a solução homogênea fica:

Passo 7

Aplicando a condição inicial , derivamos :
çã
No instante , a convolução não contribui para a derivada imediata, então:

Resposta

Assim, a solução final para é:

Exercícios relacionados

Considere a equação
Com as condições de contorno e , encontre pelo método de transformada de Fourier.
Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
.
Duas baterias de f.e.m. e resistência e respectivamente estão ligadas em paralelo. Mostre que a f.e.m. efetiva dessa combinação é onde .
Encontre a transformada em seno de: