Considere agora a equação
ddotx(t)-alpha^2 x(t)=f(t) (0 <= t
Com as condições de contorno dotx(0)=b e x(infty), encontre x(t) pelo método de transformada de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Fourier. A equação que temos é:
ddotx(t) - alpha^2 x(t) = f(t)
Estamos trabalhando com derivadas em relação ao tempo ( t), e precisamos achar x(t). Para isso, vamos usar a Transformada de Fourier, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Além disso, vamos considerar as condições de contorno dotx(0) = b e que x(infty) é finito.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Fourier de uma derivada segunda é:
Fddotx(t) = -omega^2 X(omega)
E a Transformada de Fourier de x(t) é simplesmente X(omega). Aplicando isso na equação original, temos:
-omega^2 X(omega) - alpha^2 X(omega) = F(omega)
Onde F(omega) é a Transformada de Fourier de f(t).

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação algébrica que obtivemos:
(-omega^2 - alpha^2) X(omega) = F(omega)
Podemos fatorar X(omega):
X(omega) = F(omega)-omega^2 - alpha^2 = F(omega)-(omega^2 + alpha^2)
Para facilitar, vamos reescrever isso como:
X(omega) = F(omega)alpha^2 + omega^2

Passo 4

Agora que temos X(omega), precisamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier para encontrar x(t). A Transformada Inversa de Fourier é dada por:
x(t) = F^-1X(omega) = F^-1 F(omega)alpha^2 + omega^2
Isso significa que vamos convoluir f(t) com a Transformada Inversa de 1alpha^2 + omega^2.

Passo 5

Sabemos que:
F^-1 1alpha^2 + omega^2 = 12alpha e^-alpha |t|
Como estamos considerando t >= 0, isso simplifica para:
12alpha e^-alpha t
Portanto, a solução para x(t) será a convolução de f(t) com 12alpha e^-alpha t.

Passo 6

Além disso, precisamos considerar a condição inicial dotx(0) = b. Para isso, adicionamos uma solução da equação homogênea associada:
ddotx(t) - alpha^2 x(t) = 0
A solução geral dessa equação é:
xh(t) = C1 e^alpha t + C2 e^-alpha t
Mas como x(infty) deve ser finito, descartamos o termo e^alpha t, já que ele cresce sem limite. Então, a solução homogênea fica:
xh(t) = C2 e^-alpha t

Passo 7

Aplicando a condição inicial dotx(0) = b, derivamos x(t):
dotx(t) = -alpha C2 e^-alpha t + derivada da convolução çã
No instante t = 0, a convolução não contribui para a derivada imediata, então:
dotx(0) = -alpha C2 = b Rightarrow C2 = -balpha

Resposta

Assim, a solução final para x(t) é:
x(t) = -balpha e^-alpha t + 12alpha integral0^t f(tau) e^-alpha (t - tau) dtau

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