Considere agora a equação
Com as condições de contorno
e
, encontre
pelo método de transformada de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Fourier. A equação que temos é:
Estamos trabalhando com derivadas em relação ao tempo (
), e precisamos achar
. Para isso, vamos usar a Transformada de Fourier, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Além disso, vamos considerar as condições de contorno
e que
é finito.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Fourier de uma derivada segunda é:
E a Transformada de Fourier de
é simplesmente
. Aplicando isso na equação original, temos:
Onde
é a Transformada de Fourier de
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação algébrica que obtivemos:
Podemos fatorar
:
Para facilitar, vamos reescrever isso como:
Passo 4
Agora que temos
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier para encontrar
. A Transformada Inversa de Fourier é dada por:
Isso significa que vamos convoluir
com a Transformada Inversa de
.
Passo 5
Sabemos que:
Como estamos considerando
, isso simplifica para:
Portanto, a solução para
será a convolução de
com
.
Passo 6
Além disso, precisamos considerar a condição inicial
. Para isso, adicionamos uma solução da equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação é:
Mas como
deve ser finito, descartamos o termo
, já que ele cresce sem limite. Então, a solução homogênea fica:
Passo 7
Aplicando a condição inicial
, derivamos
:
No instante
, a convolução não contribui para a derivada imediata, então:
Resposta
Assim, a solução final para
é:
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Considere a equação
Com as condições de contorno
e
, encontre
pelo método de transformada de Fourier.
Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
.
Duas baterias de f.e.m. e resistência
e
respectivamente estão ligadas em paralelo. Mostre que a f.e.m. efetiva dessa combinação é
onde
.
Encontre a transformada em seno de: