Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as transformadas de Fourier da função
, onde
. Estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Fourier, uma ferramenta importante em análise de sinais e processamento. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas e algumas integrais conhecidas envolvendo funções exponenciais e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Para uma função
, a transformada de Fourier
é definida por:
No nosso caso,
.
Passo 3
Sabemos que o cosseno pode ser expresso usando números complexos:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 4
Agora, aplicamos a transformada de Fourier na função
:
Podemos separar a integral:
Passo 5
Reconhecemos que as integrais são da forma:
Usando essa propriedade, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão, fatorando
:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é:
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Considere o oscilador harmônico amoretecido forçado:
onde
é o mesmo da resolução feita em sala de aula, ou seja:
Encontre para o caso super-amortecido
, e para o caso criticamente amortecido
pelo método de transformada de Fourier.
Encontre
Um capacitor plano de placas paralelas está ligado a uma bateria com diferença de potencial V. Sem desconectar o capacitor da bateria, afasta-se uma das placas de modo que a nova distância entre elas seja o triplo da distância original. Mostre que a carga final armazenada será
onde
é a capacitância inicial antes da separação entre as placas.
Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
.
Considere a equação
Com as condições de contorno
e
, encontre
pelo método de transformada de Fourier.