Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as transformadas de Fourier da função , onde . Estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Fourier, uma ferramenta importante em análise de sinais e processamento. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas e algumas integrais conhecidas envolvendo funções exponenciais e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Para uma função , a transformada de Fourier é definida por:
No nosso caso, .

Passo 3

Sabemos que o cosseno pode ser expresso usando números complexos:
Então, podemos reescrever como:

Passo 4

Agora, aplicamos a transformada de Fourier na função :
Podemos separar a integral:

Passo 5

Reconhecemos que as integrais são da forma:
Usando essa propriedade, temos:

Passo 6

Simplificando a expressão, fatorando :

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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Considere o oscilador harmônico amoretecido forçado:
onde é o mesmo da resolução feita em sala de aula, ou seja:

Encontre para o caso super-amortecido , e para o caso criticamente amortecido pelo método de transformada de Fourier.
Um capacitor plano de placas paralelas está ligado a uma bateria com diferença de potencial V. Sem desconectar o capacitor da bateria, afasta-se uma das placas de modo que a nova distância entre elas seja o triplo da distância original. Mostre que a carga final armazenada será onde é a capacitância inicial antes da separação entre as placas.
Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
.
Considere a equação
Com as condições de contorno e , encontre pelo método de transformada de Fourier.