Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
f(x)=e^-lambda x^2 cos beta x (lambda>0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as transformadas de Fourier da função , onde . Estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Fourier, uma ferramenta importante em análise de sinais e processamento. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas e algumas integrais conhecidas envolvendo funções exponenciais e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Para uma função F(k) = integral-infty^infty f(x) e^-i k x , dx , a transformada de Fourier é definida por:
No nosso caso, .

Passo 3

Sabemos que o cosseno pode ser expresso usando números complexos:
cos beta x = e^i beta x + e^-i beta x2
Então, podemos reescrever f(x) = e^-lambda x^2 cdot e^i beta x + e^-i beta x2 = e^-lambda x^2 + i beta x + e^-lambda x^2 - i beta x2 como:

Passo 4

Agora, aplicamos a transformada de Fourier na função F(k) = integral-infty^infty e^-lambda x^2 + i beta x + e^-lambda x^2 - i beta x2 e^-i k x , dx :
F(k) = 12 ( integral-infty^infty e^-lambda x^2 + i (beta - k) x , dx + integral-infty^infty e^-lambda x^2 - i (beta + k) x , dx )
Podemos separar a integral:

Passo 5

Reconhecemos que as integrais são da forma:
integral-infty^infty e^-lambda x^2 + i a x , dx = raizpilambda e^-a^24 lambda
Usando essa propriedade, temos:
F(k) = 12 ( raizpilambda e^-(beta - k)^24 lambda + raizpilambda e^-(beta + k)^24 lambda )

Passo 6

Simplificando a expressão, fatorando F(k) = raizpi2 raizlambda ( e^-(beta - k)^24 lambda + e^-(beta + k)^24 lambda ) :

Resposta

A transformada de Fourier da função F(k) = raizpi2 raizlambda ( e^-(beta - k)^24 lambda + e^-(beta + k)^24 lambda ) é:

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