Considere o oscilador harmônico amoretecido forçado:
ddotx(t)+2 alpha dotx(t)+omega0^2 x(t)=f(t)
onde f(t) é o mesmo da resolução feita em sala de aula, ou seja:
f(t)= f0 & (-tau <= tt>tau)
Encontre x(t) para o caso super-amortecido w0, e para o caso criticamente amortecido w0=alpha pelo método de transformada de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um oscilador harmônico amortecido forçado. A equação que descreve esse sistema é:
ddotx(t) + 2 alpha dotx(t) + omega0^2 x(t) = f(t)
Aqui, f(t) = f0 & se -tau <= t < tau, 0 & se t < -tau ou t > tau é uma função que representa uma força aplicada ao sistema, e está definida da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar , que é a posição do oscilador em função do tempo, nos casos super-amortecido ( ) e criticamente amortecido ( ), usando o método da transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo da equação representa:
  • : A segunda derivada de , representa a aceleração.
  • : Representa o termo de amortecimento, onde é o coeficiente de amortecimento.
  • : Esse é o termo restaurador da força elástica, com sendo a frequência natural do sistema.
  • : É a força externa aplicada ao sistema.
Como o exercício fala sobre transformada de Fourier, vamos lembrar que ela transforma uma função do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução de equações diferenciais.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Fourier de uma derivada é dada por:
Fdotx(t) = i omega X(omega)
Fddotx(t) = -omega^2 X(omega)
Onde é a transformada de Fourier de , e é a frequência angular.

Passo 4

Aplicando a transformada na equação original:
Fddotx(t) + 2 alpha Fdotx(t) + omega0^2 Fx(t) = Ff(t)
Substituindo pelas transformadas das derivadas:
-omega^2 X(omega) + 2 alpha (i omega X(omega)) + omega0^2 X(omega) = F(omega)
Onde é a transformada de Fourier de .

Passo 5

Vamos isolar X(omega) [ -omega^2 + 2 i alpha omega + omega0^2 ] = F(omega) :
X(omega) = F(omega) -omega^2 + 2 i alpha omega + omega0^2
Então:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar F(omega) = f0 cdot 2 tau cdot sinc(omega tau) , a transformada de Fourier de . A função é um pulso retangular centrado em com duração e amplitude . A transformada de Fourier desse tipo de função é:
Onde .

Passo 7

Substituindo X(omega) = 2 f0 tau cdot sinc(omega tau) -omega^2 + 2 i alpha omega + omega0^2 na expressão de -omega^2 + 2 i alpha omega + omega0^2 = omega0^2 - omega^2 + 2 i alpha omega :
Para simplificar, vamos reescrever o denominador:

Passo 8

Agora, para encontrar x(t) = F^-1X(omega) , precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier em x(t) = 12pi integral-infty^infty X(omega) e^i omega t domega :
Isso envolve integrar sobre todas as frequências :

Passo 9

Vamos focar agora nos dois casos:
  1. Super-amortecido ( )
  2. Criticamente amortecido ( )
Para cada caso, a natureza das raízes da equação característica muda, afetando a forma da solução .

Passo 10

Caso 1: Super-amortecido ( x(t) = A e^s1 t + B e^s2 t )

Nesse caso, as raízes da equação característica são reais e distintas. A solução geral no domínio do tempo será uma combinação de exponenciais decrescentes:
Onde e são as raízes da equação .

Passo 11

Encontrando as raízes s1,2 = -alpha pm raizalpha^2 - omega0^2 e :
Como , o termo dentro da raiz é positivo, garantindo que as raízes são reais.

Passo 12

Para determinar as constantes x(0) = 0 e dotx(0) = 0 e , usamos as condições iniciais. Se considerarmos que o sistema está inicialmente em repouso, temos:
Aplicando essas condições, resolvemos para e . Após isso, substituímos de volta na expressão de .

Passo 13

Caso 2: Criticamente amortecido ( s1 = s2 = -alpha )

Aqui, as raízes da equação característica são reais e iguais:
x(t) = (A + B t) e^-alpha t
A solução geral então inclui um termo multiplicativo de :

Passo 14

Novamente, aplicamos as condições iniciais e para encontrar as constantes e . Após determinar essas constantes, substituímos de volta na expressão de .

Resposta

Após seguir os passos acima, as soluções para x(t) = A e^s1 t + B e^s2 t são:
  1. Super-amortecido ( x(t) = (A + B t) e^-alpha t ):
Onde e .
  1. Criticamente amortecido ( ):
As constantes e são determinadas pelas condições iniciais do sistema.

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