Considere o oscilador harmônico amoretecido forçado:
onde
é o mesmo da resolução feita em sala de aula, ou seja:
Encontre
para o caso super-amortecido
, e para o caso criticamente amortecido
pelo método de transformada de Fourier.
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um oscilador harmônico amortecido forçado. A equação que descreve esse sistema é:
Aqui,
é uma função que representa uma força aplicada ao sistema, e está definida da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar
, que é a posição do oscilador em função do tempo, nos casos super-amortecido (
) e criticamente amortecido (
), usando o método da transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo da equação representa:
-
: A segunda derivada de , representa a aceleração. -
: Representa o termo de amortecimento, onde é o coeficiente de amortecimento. -
: Esse é o termo restaurador da força elástica, com sendo a frequência natural do sistema. -
: É a força externa aplicada ao sistema.
Como o exercício fala sobre transformada de Fourier, vamos lembrar que ela transforma uma função do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução de equações diferenciais.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Fourier de uma derivada é dada por:
Onde
é a transformada de Fourier de
, e
é a frequência angular.
Passo 4
Aplicando a transformada na equação original:
Substituindo pelas transformadas das derivadas:
Onde
é a transformada de Fourier de
.
Passo 5
Vamos isolar
:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
, a transformada de Fourier de
. A função
é um pulso retangular centrado em
com duração
e amplitude
. A transformada de Fourier desse tipo de função é:
Onde
.
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Para simplificar, vamos reescrever o denominador:
Passo 8
Agora, para encontrar
, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier em
:
Isso envolve integrar
sobre todas as frequências
:
Passo 9
Vamos focar agora nos dois casos:
- Super-amortecido (
) - Criticamente amortecido (
)
Para cada caso, a natureza das raízes da equação característica muda, afetando a forma da solução
.
Passo 10
Caso 1: Super-amortecido (
)
Nesse caso, as raízes da equação característica são reais e distintas. A solução geral no domínio do tempo será uma combinação de exponenciais decrescentes:
Onde
e
são as raízes da equação
.
Passo 11
Encontrando as raízes
e
:
Como
, o termo dentro da raiz é positivo, garantindo que as raízes são reais.
Passo 12
Para determinar as constantes
e
, usamos as condições iniciais. Se considerarmos que o sistema está inicialmente em repouso, temos:
Aplicando essas condições, resolvemos para
e
. Após isso, substituímos de volta na expressão de
.
Passo 13
Caso 2: Criticamente amortecido (
)
Aqui, as raízes da equação característica são reais e iguais:
A solução geral então inclui um termo multiplicativo de
:
Passo 14
Novamente, aplicamos as condições iniciais
e
para encontrar as constantes
e
. Após determinar essas constantes, substituímos de volta na expressão de
.
Resposta
Após seguir os passos acima, as soluções para
são:
- Super-amortecido (
):
Onde
e
.
- Criticamente amortecido (
):
As constantes
e
são determinadas pelas condições iniciais do sistema.
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onde
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.
Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
.