Considere a equação
Com as condições de contorno e , encontre pelo método de transformada de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo para , com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada na equação, manipular as expressões no domínio da frequência e depois aplicar a transformada inversa para encontrar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a Transformada de Fourier funciona. A transformada de uma função é dada por:
E a transformada inversa é:
Como nossa função está definida para , podemos considerar para .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial:
Usando a propriedade da transformada que diz que a transformada da segunda derivada é:
Aqui, é o valor de em e é a derivada inicial.

Passo 4

Substituindo na equação transformada:
Vamos rearranjar para isolar :

Passo 5

Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Agora, precisamos determinar . Como não temos uma condição inicial para , assumimos que é finito e, combinado com a condição , concluímos que pode ser zero para simplificar.

Passo 6

Assumindo , a expressão para simplifica para:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa para encontrar :
Essa integral é uma forma conhecida da transformada inversa de Fourier.

Passo 7

Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:
Aqui, usamos o fato de que , então .

Resposta

A solução da equação é .

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Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
.
Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
Considere agora a equação
Com as condições de contorno e , encontre pelo método de transformada de Fourier.
Duas baterias de f.e.m. e resistência e respectivamente estão ligadas em paralelo. Mostre que a f.e.m. efetiva dessa combinação é onde .