Considere a equação
Com as condições de contorno
e
, encontre
pelo método de transformada de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo
para
, com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada na equação, manipular as expressões no domínio da frequência e depois aplicar a transformada inversa para encontrar a solução no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a Transformada de Fourier funciona. A transformada de uma função
é dada por:
E a transformada inversa é:
Como nossa função
está definida para
, podemos considerar
para
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial:
Usando a propriedade da transformada que diz que a transformada da segunda derivada é:
Aqui,
é o valor de
em
e
é a derivada inicial.
Passo 4
Substituindo na equação transformada:
Vamos rearranjar para isolar
:
Passo 5
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Agora, precisamos determinar
. Como não temos uma condição inicial para
, assumimos que
é finito e, combinado com a condição
, concluímos que
pode ser zero para simplificar.
Passo 6
Assumindo
, a expressão para
simplifica para:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa para encontrar
:
Essa integral é uma forma conhecida da transformada inversa de Fourier.
Passo 7
Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:
Aqui, usamos o fato de que
, então
.
Resposta
A solução da equação é
.
Exercícios relacionados
Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
.
Ache as transformadas de Fourier das seguintes funções:
Considere agora a equação
Com as condições de contorno
e
, encontre
pelo método de transformada de Fourier.
Duas baterias de f.e.m. e resistência
e
respectivamente estão ligadas em paralelo. Mostre que a f.e.m. efetiva dessa combinação é
onde
.