Considere a equação
ddotx(t)-alpha^2 x(t)=0 (0 <= t
Com as condições de contorno dotx(0)=b e x(infty), encontre x(t) pelo método de transformada de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo para , com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada na equação, manipular as expressões no domínio da frequência e depois aplicar a transformada inversa para encontrar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a Transformada de Fourier funciona. A transformada de uma função X(omega) = integral-infty^infty x(t) e^-i omega t dt é dada por:
x(t) = 12pi integral-infty^infty X(omega) e^i omega t domega
E a transformada inversa é:
Como nossa função está definida para , podemos considerar para .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial:
ddotx(t) - alpha^2 x(t) = 0
Usando a propriedade da transformada que diz que a transformada da segunda derivada é:
Fddotx(t) = -omega^2 X(omega) + i omega x(0) + dotx(0)
Aqui, é o valor de em e é a derivada inicial.

Passo 4

Substituindo na equação transformada:
-omega^2 X(omega) + i omega x(0) + b - alpha^2 X(omega) = 0
Vamos rearranjar para isolar X(omega) (-omega^2 - alpha^2) + i omega x(0) + b = 0 :
X(omega) (omega^2 + alpha^2) = i omega x(0) + b

Passo 5

Para encontrar X(omega) = i omega x(0) + bomega^2 + alpha^2 , dividimos ambos os lados por :
Agora, precisamos determinar . Como não temos uma condição inicial para , assumimos que é finito e, combinado com a condição , concluímos que pode ser zero para simplificar.

Passo 6

Assumindo X(omega) = bomega^2 + alpha^2 , a expressão para x(t) = 12pi integral-infty^infty bomega^2 + alpha^2 e^i omega t domega simplifica para:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa para encontrar :
Essa integral é uma forma conhecida da transformada inversa de Fourier.

Passo 7

Sabemos que:
F^-11omega^2 + alpha^2 = pialpha e^-alpha |t|
Aplicando isso na nossa expressão:
x(t) = b2pi cdot 2pi cdot 1alpha e^-alpha t = balpha e^-alpha t
Aqui, usamos o fato de que , então .

Resposta

A solução da equação é .

Exercícios relacionados