Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
r^2 cos(2 theta) = z^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para transformar uma equação de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas. A equação que a gente vai trabalhar é:
Então, o conteúdo que a gente vai usar aqui é a conversão entre coordenadas cilíndricas e cartesianas. Precisaremos das fórmulas de conversão para mudar de e para e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas :
Além disso, sabemos que:
E para , podemos usar a identidade trigonométrica:

Passo 3

Vamos substituir essas relações na equação original. Começamos com:
Substituindo pela identidade que mencionamos:

Passo 4

Observe que no numerador e no denominador se cancelam:

Resposta

A equação da superfície em coordenadas cartesianas é:

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a) R(t) = (t+1) i - t^2 j + (1-2t) k, t=-1
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