Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
x^2 + y^2 + z^2 - 9z = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve uma superfície no espaço tridimensional: . O conteúdo que vamos usar aqui é o de coordenadas esféricas, que é uma maneira de representar pontos no espaço usando distância, ângulo polar e ângulo azimutal. Para resolver, precisamos converter essa equação de coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas ( , , ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as relações entre coordenadas cartesianas e esféricas:
Além disso, sabemos que . Vamos usar isso para substituir na equação original.

Passo 3

Vamos substituir e na equação :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos fatorar da equação:
Isso nos dá duas possibilidades: ou .

Passo 5

A solução representa apenas a origem, mas como estamos falando de uma superfície, vamos considerar a outra solução:
Essa é a equação da superfície em coordenadas esféricas.

Resposta

A equação da superfície em coordenadas esféricas é:

Exercícios relacionados

Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
a) R(t) = (t+1) i - t^2 j + (1-2t) k, t=-1
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
c) R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
r^2 cos(2 theta) = z^3
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
rho = 6 sen(phi) sen(theta) + 3 cos(phi)