Ache, usando o determinante, os autovalores e autovetores das matrizes:
[[ a b ] [ b -a ]] e [[ c -s ] [ s c ]]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores de duas matrizes usando determinantes. O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar saber como encontrar o determinante de uma matriz e resolver a equação característica.

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz:
Para achar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica det( ) = 0, onde é o autovalor e é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:

Passo 4

Igualando o determinante a zero para achar os autovalores:
Ent��o, os autovalores de são e .

Passo 5

Agora vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Primeiro, para , resolvemos :

[


]
Isso nos leva ao sistema:
Resolvendo, encontramos que o autovetor correspondente a é proporcional a:
De forma similar, para , o autovetor correspondente é:

Passo 6

Agora vamos para a segunda matriz:
Assim como fizemos com , vamos encontrar os autovalores resolvendo det( ) = 0.

Passo 7

Calculando :
O determinante dessa matriz é:

Passo 8

Igualando a zero para achar os autovalores:
Como é positivo, resolvemos:
Portanto, os autovalores de são e .

Passo 9

Para encontrar os autovetores, tomamos e resolvemos :

[


]
Resolvendo, obtemos que o autovetor correspondente a é:
Similarmente, para , o autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores e autovetores das matrizes são:
  1. Matriz :
    • Autovalores:
    • Autovetores:
  2. Matriz :
    • Autovalores:
    • Autovetores:

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