Ache, usando o determinante, os autovalores e autovetores das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores de duas matrizes usando determinantes. O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar saber como encontrar o determinante de uma matriz e resolver a equação característica.
Passo 2
Vamos começar com a primeira matriz:
Para achar os autovalores de
, precisamos resolver a equação característica det(
) = 0, onde
é o autovalor e
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando
:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 4
Igualando o determinante a zero para achar os autovalores:
Ent��o, os autovalores de
são
e
.
Passo 5
Agora vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Primeiro, para
, resolvemos
:
[
]
Isso nos leva ao sistema:
Resolvendo, encontramos que o autovetor correspondente a
é proporcional a:
De forma similar, para
, o autovetor correspondente é:
Passo 6
Agora vamos para a segunda matriz:
Assim como fizemos com
, vamos encontrar os autovalores resolvendo det(
) = 0.
Passo 7
Calculando
:
O determinante dessa matriz é:
Passo 8
Igualando a zero para achar os autovalores:
Como
é positivo, resolvemos:
Portanto, os autovalores de
são
e
.
Passo 9
Para encontrar os autovetores, tomamos
e resolvemos
:
[
]
Resolvendo, obtemos que o autovetor correspondente a
é:
Similarmente, para
, o autovetor correspondente é:
Resposta
Os autovalores e autovetores das matrizes são:
-
Matriz
: - Autovalores:
- Autovetores:
- Autovalores:
-
Matriz
: - Autovalores:
- Autovetores:
- Autovalores:
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Se
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Se
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, quais são os autovalores e autovetores da matriz
?