Se X ∧ X^(-1) é a diagonalização de A, prove que as colunas de X formam os autovetores à direita de A e as linhas de X^(-1) os autovetores à esquerda da mesma matriz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear que fala sobre diagonalização de matrizes. Especificamente, temos que X ∧ X^(-1) é a diagonalização de A. Nosso objetivo é provar que:
  1. As colunas de X são os autovetores à direita de A.
  2. As linhas de X^(-1) são os autovetores à esquerda de A.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diagonalização, autovetores à direita e à esquerda, e como essas coisas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos importantes:
  • Diagonalização: Uma matriz A é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e X é uma matriz cujas colunas são os autovetores de A.
  • Autovetor à direita: Um vetor v é um autovetor à direita de A se , onde lambda é o autovalor correspondente.
  • Autovetor à esquerda: Um vetor w é um autovetor à esquerda de A se .
Vamos usar essas definições para provar o que o exercício pede.

Passo 3

Sabemos que . Vamos multiplicar ambos os lados pela matriz X à direita:
Como (a matriz identidade), temos:
Agora, se a gente olha isso coluna a coluna, cada coluna de corresponde a A multiplicando um autovetor de X. E cada coluna de é a coluna de X multiplicada pelo autovalor correspondente. Isso mostra que cada coluna de X é de fato um autovetor à direita de A.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com X^(-1). Sabemos que:
Se a gente multiplica ambos os lados pela X^(-1) à esquerda, temos:
Isso nos dá:
Olhar isso linha por linha significa que cada linha de X^(-1) é um autovetor à esquerda de A.

Resposta

Portanto, provamos que as colunas de X são os autovetores à direita de A e as linhas de X^(-1) são os autovetores à esquerda de A.

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