Se
é a diagonalização de
, prove que as colunas de
formam os autovetores à direita de
e as linhas de
os autovetores à esquerda da mesma matriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear que fala sobre diagonalização de matrizes. Especificamente, temos que
é a diagonalização de
. Nosso objetivo é provar que:
- As colunas de
são os autovetores à direita de . - As linhas de
são os autovetores à esquerda de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diagonalização, autovetores à direita e à esquerda, e como essas coisas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos importantes:
-
Diagonalização: Uma matriz
é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz cujas colunas são os autovetores de . -
Autovetor à direita: Um vetor
é um autovetor à direita de se , onde é o autovalor correspondente. -
Autovetor à esquerda: Um vetor
é um autovetor à esquerda de se .
Vamos usar essas definições para provar o que o exercício pede.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos multiplicar ambos os lados pela matriz
à direita:
Como
(a matriz identidade), temos:
Agora, se a gente olha isso coluna a coluna, cada coluna de
corresponde a
multiplicando um autovetor de
. E cada coluna de
é a coluna de
multiplicada pelo autovalor correspondente. Isso mostra que cada coluna de
é de fato um autovetor à direita de
.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece com
. Sabemos que:
Se a gente multiplica ambos os lados pela
à esquerda, temos:
Isso nos dá:
Olhar isso linha por linha significa que cada linha de
é um autovetor à esquerda de
.
Resposta
Portanto, provamos que as colunas de
são os autovetores à direita de
e as linhas de
são os autovetores à esquerda de
.