integral duplaR 5 y^2x^2+1 d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,-3 <= y <= 3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
integral duplaR 5 y^2x^2+1 , dA
Onde a região R = (x, y) mid 0 <= x <= 1, -3 <= y <= 3 é definida por:
Matéria envolvida: Integrais Duplas em Cálculo.
O que precisamos: Saber integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. A região integral0^1 ( integral-3^3 5 y^2x^2+1 , dy ) dx é um retângulo onde varia de 0 a 1 e varia de -3 a 3. Portanto, podemos integrar primeiro em e depois em :

Passo 3

Observamos que a função pode ser separada em duas partes: uma que depende de ( ) e outra que depende de ( ). Isso nos permite simplificar a integração.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a integral-3^3 y^2 , dy :
y^33 |-3^3 = 3^33 - (-3)^33 = 273 - -273 = 9 + 9 = 18
A integral de em relação a é . Avaliando de -3 a 3:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 5x^2+1 times 18 , dx = 90 integral0^1 1x^2+1 , dx

Passo 6

A integral de 90 arctan(x) |0^1 = 90 (arctan(1) - arctan(0)) em relação a 90 ( pi4 - 0 ) = 90pi4 = 45pi2 é a função arco tangente, . Então, temos:
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral dupla é:
45pi2

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