Se
é tal que
, quais são os autovalores e autovetores da matriz
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor
que satisfaz
, ou seja,
é um vetor unitário (tem comprimento 1). A matriz em questão é
, que é uma matriz formada pelo produto externo de
com ele mesmo. Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz
, um vetor
é um autovetor se existir um escalar
tal que:
Aqui,
é o autovalor correspondente a
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa matriz
. Queremos encontrar
e
tais que:
Vamos analisar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, observe que
é um número escalar, já que é o produto interno de
e
. Então, podemos reescrever a equação como:
Isso significa que
deve ser um múltiplo de
, ou seja,
está na direção de
.
Passo 5
Vamos supor que
. Então:
Portanto, se
, temos:
Logo,
e
é um autovetor com autovalor 1.
Passo 6
Agora, vamos considerar vetores
que são ortogonais a
, ou seja,
. Nesse caso:
Então, para esses vetores, temos:
A única solução para isso é
.
Passo 7
Portanto, qualquer vetor
que seja ortogonal a
é um autovetor com autovalor 0. Em um espaço
, isso significa que temos:
- Um autovalor igual a 1, com o autovetor na direção de
. -
autovalores iguais a 0, com autovetores que formam uma base ortogonal ao vetor .
Resposta
Os autovalores da matriz
são
com o autovetor na direção de
, e
com
autovetores ortogonais a
.