Se w é tal que w^T w = 1, quais são os autovalores e autovetores da matriz w w^T (w in R^n)?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor que satisfaz , ou seja, é um vetor unitário (tem comprimento 1). A matriz em questão é , que é uma matriz formada pelo produto externo de com ele mesmo. Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz , um vetor é um autovetor se existir um escalar tal que:
Aqui, é o autovalor correspondente a .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa matriz . Queremos encontrar e tais que:
Vamos analisar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, observe que é um número escalar, já que é o produto interno de e . Então, podemos reescrever a equação como:
Isso significa que deve ser um múltiplo de , ou seja, está na direção de .

Passo 5

Vamos supor que . Então:
Portanto, se , temos:
Logo, e é um autovetor com autovalor 1.

Passo 6

Agora, vamos considerar vetores que são ortogonais a , ou seja, . Nesse caso:
Então, para esses vetores, temos:
A única solução para isso é .

Passo 7

Portanto, qualquer vetor que seja ortogonal a é um autovetor com autovalor 0. Em um espaço , isso significa que temos:
  • Um autovalor igual a 1, com o autovetor na direção de .
  • autovalores iguais a 0, com autovetores que formam uma base ortogonal ao vetor .

Resposta

Os autovalores da matriz são com o autovetor na direção de , e com autovetores ortogonais a .

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Se X ∧ X^(-1) é a diagonalização de A, prove que as colunas de X formam os autovetores à direita de A e as linhas de X^(-1) os autovetores à esquerda da mesma matriz.
Ache, usando o determinante, os autovalores e autovetores das matrizes:
[[ a b ] [ b -a ]] e [[ c -s ] [ s c ]]
Para cada uma das matrizes abaixo, calcule, usando o MATLAB, a diagonalização correspondente. Para a matriz B, compare X e X^-1 e diga o que você pode concluir sobre os autovetores obtidos.
A=[ccc 1 & 2 & 3 -2 & 1 & 2 0 & 1 & -3 ] e B=[ccc 1 & 2 & 3 2 & -1 & 4 3 & 4 & 2 ]
Calcule os seguintes limites, se existirem.
lim x 2 ln (x-1)x-2
R: 1