Se é tal que , quais são os autovalores e autovetores da matriz ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor que satisfaz , ou seja, é um vetor unitário (tem comprimento 1). A matriz em questão é , que é uma matriz formada pelo produto externo de com ele mesmo. Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz , um vetor é um autovetor se existir um escalar tal que:
Aqui, é o autovalor correspondente a .
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa matriz . Queremos encontrar e tais que:
Vamos analisar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, observe que é um número escalar, já que é o produto interno de e . Então, podemos reescrever a equação como:
Isso significa que deve ser um múltiplo de , ou seja, está na direção de .
Passo 5
Vamos supor que . Então:
Portanto, se , temos:
Logo, e é um autovetor com autovalor 1.
Passo 6
Agora, vamos considerar vetores que são ortogonais a , ou seja, . Nesse caso:
Então, para esses vetores, temos:
A única solução para isso é .
Passo 7
Portanto, qualquer vetor que seja ortogonal a é um autovetor com autovalor 0. Em um espaço , isso significa que temos:
Um autovalor igual a 1, com o autovetor na direção de .
autovalores iguais a 0, com autovetores que formam uma base ortogonal ao vetor .
Resposta
Os autovalores da matriz são com o autovetor na direção de , e com autovetores ortogonais a .