(a) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto t = 0

Passo 1

Beleza! A gente precisa determinar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Isso envolve usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta nessa posição. Para isso, vamos precisar das equações paramétricas da curva, ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Isso significa substituir nas equações paramétricas:
Esses valores vão nos dar o ponto de tangência .

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular as derivadas de e em relação a , ou seja, e . Essas derivadas nos mostram como as coordenadas mudam com respeito a .

Passo 4

A inclinação da reta tangente, , é dada pela razão entre e no ponto :
Isso vai nos dar a inclinação da reta que toca a curva exatamente nesse ponto.

Passo 5

Agora que temos o ponto e a inclinação , podemos usar a f��rmula da equação da reta:
Substituindo os valores, teremos a equação da reta tangente à curva no ponto .

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:
onde e .

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