Ache - usando posto de matrizes - uma condição envolvendo a, b e c para que o sistema abaixo tenha solução:
x+y+z+t & =a 5 y+2 z+4 t & =b 3 x-2 y+z-t & =c
A seguir, encontre uma solução para o sistema. Essa solução é única?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o posto de matrizes. A ideia é achar uma condição envolvendo e que garanta que o sistema tenha solução. Para isso, vamos precisar entender como o posto das matrizes relacionadas ao sistema influencia na existência de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada do sistema. A matriz dos coeficientes é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
A = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 5 & 2 & 4 3 & -2 & 1 & -1
E a matriz aumentada, que inclui os termos constantes A' = 1 & 1 & 1 & 1 & | & a 0 & 5 & 2 & 4 & | & b 3 & -2 & 1 & -1 & | & c , fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular o posto das duas matrizes. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes. Para que o sistema tenha solução, o posto da matriz dos coeficientes 1 & 1 & 1 & 1 & | & a 0 & 5 & 2 & 4 & | & b 0 & -5 & -2 & -4 & | & c - 3a deve ser igual ao posto da matriz aumentada 1 & 1 & 1 & 1 & | & a 0 & 5 & 2 & 4 & | & b 0 & 0 & 0 & 0 & | & c - 3a + b .
Vamos transformar a matriz em uma forma mais simples usando operações elementares:
  1. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
  1. Adicionamos a segunda linha à terceira linha:

Passo 4

Observamos que a última linha ficou com todas as variáveis iguais a zero. Para que o sistema tenha solução, o termo constante dessa linha também deve ser zero, ou seja:
c - 3a + b = 0
Essa é a condição que relaciona e para que o sistema tenha solução.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução para o sistema. Vamos expressar algumas variáveis em termos de parâmetros, já que temos mais incógnitas do que equações, o que geralmente resulta em infinitas soluções.
Vamos escolher 5y + 2z + 4t = b 5y + 2s + 4r = b 5y = b - 2s - 4r y = b - 2s - 4r5 e x + y + z + t = a x + b - 2s - 4r5 + s + r = a x = a - b - 2s - 4r5 - s - r x = 5a - b + 2s + 4r - 5s - 5r5 x = 5a - b - 3s - r5 como parâmetros livres. A partir da segunda equação original:
Agora, da primeira equação:

Resposta

A condição para que o sistema tenha solução é x = dfrac5a - b - 3s - r5 y = dfracb - 2s - 4r5 z = s t = r . Uma solução geral do sistema é:
Onde e são parâmetros livres. Portanto, a solução não é única; existem infinitas soluções dependendo dos valores de e .

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