O Conjunto B=(1raiz2, 1raiz2),(-1raiz2, 1raiz2) é uma base ortonormal do R^2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v=(2,4) em relação à base B.
Resposta: vB=(3 raiz2, raiz2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base ortonormal do espaço com dois vetores específicos. O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor nessa base. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de bases ortonormais e produtos internos. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que podem ser usados para representar qualquer outro vetor no espaço como uma combinação linear deles. Quando essa base é ortonormal, significa que os vetores são todos unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero).
No nosso caso, a base b1 = (1raiz2, 1raiz2) e b2 = (-1raiz2, 1raiz2) é composta por:

Passo 3

Para encontrar as coordenadas do vetor v = c1 b1 + c2 b2 na base , ou seja, encontrar tal que:
Como a base é ortonormal, podemos encontrar facilmente os coeficientes e usando o produto interno.

Passo 4

Vamos calcular ci = lang<= v, bi rang<= e utilizando a fórmula do produto interno. Para bases ortonormais, a coordenada é dada por:
onde representa o produto interno.

Passo 5

Vamos calcular c1 = lang<= (2, 4), (1raiz2, 1raiz2) rang<= = 2 cdot 1raiz2 + 4 cdot 1raiz2 = 2raiz2 + 4raiz2 = 6raiz2 = 3raiz2 :

Passo 6

Agora, vamos calcular c2 = lang<= (2, 4), (-1raiz2, 1raiz2) rang<= = 2 cdot (-1raiz2) + 4 cdot 1raiz2 = -2raiz2 + 4raiz2 = 2raiz2 = raiz2 :

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor vB = (3 raiz2, raiz2) na base são:

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