O Conjunto
é uma base ortonormal do
com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de
em relação à base B.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base ortonormal
do espaço
com dois vetores específicos. O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor
nessa base. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de bases ortonormais e produtos internos. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que podem ser usados para representar qualquer outro vetor no espaço como uma combinação linear deles. Quando essa base é ortonormal, significa que os vetores são todos unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero).
No nosso caso, a base
é composta por:
Passo 3
Para encontrar as coordenadas do vetor
na base
, ou seja, encontrar
tal que:
Como a base é ortonormal, podemos encontrar facilmente os coeficientes
e
usando o produto interno.
Passo 4
Vamos calcular
e
utilizando a fórmula do produto interno. Para bases ortonormais, a coordenada
é dada por:
onde
representa o produto interno.
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Resposta
Portanto, as coordenadas do vetor
na base
são: