Encontre o posto da matriz:
M=(cccc 1 & 2 & 3 & 4 5 & 6 & 7 & 8 9 & 10 & 11 & 12 13 & 14 & 15 & 16 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o posto da matriz , que é uma ferramenta da álgebra linear. O posto de uma matriz nos diz o número máximo de linhas (ou colunas) que são linearmente independentes, ou seja, que não podem ser obtidas umas a partir das outras por combinações lineares. Para isso, vamos usar algumas técnicas de manipulação de matrizes, como a eliminação de Gauss, para simplificar a matriz e identificar seu posto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz M = 1 & 2 & 3 & 4 5 & 6 & 7 & 8 9 & 10 & 11 & 12 13 & 14 & 15 & 16 :
Nosso objetivo é simplificar essa matriz usando operações de linha para chegar em uma forma onde seja mais fácil contar quantas linhas são realmente independentes.

Passo 3

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, vamos usar operações de linha:
  • Linha 2: Subtrair 5 vezes a Linha 1 da Linha 2:
    1 & 2 & 3 & 4 0 & -4 & -8 & -12 0 & -8 & -16 & -24 0 & -12 & -24 & -36
  • Linha 3: Subtrair 9 vezes a Linha 1 da Linha 3:
  • Linha 4: Subtrair 13 vezes a Linha 1 da Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda coluna. Primeiro, vamos dividir a Linha 2 por 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & -8 & -16 & -24 0 & -12 & -24 & -36 para facilitar os cálculos:
1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
A matriz fica:
Em seguida, eliminamos os elementos abaixo da segunda posição da segunda coluna:
  • Linha 3: Adicionar 8 vezes a Linha 2:
  • Linha 4: Adicionar 12 vezes a Linha 2:
A matriz fica:

Passo 5

Observamos que as Linhas 3 e 4 ficaram completamente zeradas. Isso significa que elas não contribuem para o posto da matriz. As primeiras duas linhas são diferentes de zero e são linearmente independentes.

Resposta

O posto da matriz é 2.

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