Seja o seguinte sistema de equações lineares , sendo a, b e c variáveis reais e gamma uma constante real. Para cada afirmação abaixo, verifique se é verdadeira ou falsa (justifique).
I. Existe um valor de gamma para o qual o sistema não possui solução.
II. Existe um valor de gamma para o qual o sistema possui uma única solução.
III. Existe um valor de gamma para o qual o sistema possui mais de uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me mandou! A gente tem um sistema de três equações lineares com três variáveis: , e . A constante também está envolvida. O objetivo é verificar três afirmações sobre as possíveis soluções desse sistema dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o cálculo do determinante de uma matriz, que nos ajuda a entender se o sistema tem uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz para facilitar o cálculo do determinante. O sistema é:
a + b + c = 0 a + 2b + 3c = 0 a + 3b + gamma c = 0
Podemos representar isso como uma matriz de coeficientes A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 1 & 3 & gamma :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) . O determinante nos dirá se o sistema tem uma única solução ou infinitas soluções. A fórmula para o determinante de uma matriz det(A) = 1(2 cdot gamma - 3 cdot 3) - 1(1 cdot gamma - 3 cdot 1) + 1(1 cdot 3 - 2 cdot 1) é:
det(A) = 1(2gamma - 9) - 1(gamma - 3) + 1(3 - 2)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = (2gamma - 9) - (gamma - 3) + 1
Vamos simplificar:
det(A) = 2gamma - 9 - gamma + 3 + 1
det(A) = gamma - 5
Passo 4
Agora que temos o determinante em termos de , que é , vamos analisar os diferentes casos:
Determinante diferente de zero ():
Isso ocorre quando .
Um determinante diferente de zero significa que o sistema tem uma única solução trivial (a = b = c = 0).
Determinante igual a zero ():
Isso ocorre quando .
Um determinante igual a zero indica que o sistema tem infinitas soluções (não apenas a trivial).
Passo 5
Agora, vamos verificar cada afirmação:
I. Existe um valor de para o qual o sistema não possui solução.
Pelo que vimos, para todos os valores de , o sistema tem pelo menos a solução trivial.
Quando , temos uma única solução.
Quando , temos infinitas soluções.
Portanto, não existe valor de que faça o sistema não ter solução.
II. Existe um valor de para o qual o sistema possui uma única solução.
Quando , o determinante é diferente de zero, e o sistema possui uma única solução trivial.
Logo, essa afirmação é verdadeira.
III. Existe um valor de para o qual o sistema possui mais de uma solução.
Quando , o determinante é zero, e o sistema tem infinitas soluções.