Passar as seguintes equações cartesianas para coordenadas esféricas: a)
; b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente converter duas equações cartesianas para coordenadas esféricas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente muda a forma de representar pontos e superfícies no espaço. Pra isso, vamos precisar saber como as coordenadas cartesianas (x, y, z) se relacionam com as coordenadas esféricas (r, θ, φ).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas e esféricas:
Aqui,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo com o eixo z, e
é o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
Passo 3
Vamos começar com a parte a) da questão:
.
Primeiro, vamos substituir
e
pelas expressões em coordenadas esféricas:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculamos os quadrados:
Podemos fatorar
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos dividir ambos os lados da equação por
(assumindo que
e
):
Isolando
:
Podemos reescrever
usando identidades trigonométricas, mas essa forma já está adequada para coordenadas esféricas.
Passo 6
Agora, a parte b) da questão:
.
Novamente, substituímos
,
e
pelas expressões em coordenadas esféricas:
Substituindo na equação:
Passo 7
Simplificando os termos:
Fatorando
:
Novamente, sabemos que
, então:
Passo 8
Isolando
:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
As equações cartesianas convertidas para coordenadas esféricas são:
a)
b)