Passar as seguintes equações cartesianas para coordenadas esféricas: a) x^2+y^2-9 x=0; b) x^2+y^2+9 z^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente converter duas equações cartesianas para coordenadas esféricas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente muda a forma de representar pontos e superfícies no espaço. Pra isso, vamos precisar saber como as coordenadas cartesianas (x, y, z) se relacionam com as coordenadas esféricas (r, θ, φ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas e esféricas:
x = r sintheta cosphi
y = r sintheta sinphi
z = r costheta
r = raizx^2 + y^2 + z^2
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo com o eixo z, e é o ângulo no plano xy a partir do eixo x.

Passo 3

Vamos começar com a parte a) da questão: x = r sintheta cosphi .
Primeiro, vamos substituir y = r sintheta sinphi e (r sintheta cosphi)^2 + (r sintheta sinphi)^2 - 9(r sintheta cosphi) = 0 pelas expressões em coordenadas esféricas:
Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculamos os quadrados:
r^2 sin^2theta cos^2phi + r^2 sin^2theta sin^2phi - 9r sintheta cosphi = 0
Podemos fatorar r^2 sin^2theta (cos^2phi + sin^2phi) - 9r sintheta cosphi = 0 :
r^2 sin^2theta - 9r sintheta cosphi = 0
Sabemos que , então:

Passo 5

Vamos dividir ambos os lados da equação por r sintheta - 9 cosphi = 0 (assumindo que r = 9 cosphisintheta e ):
Isolando :
Podemos reescrever usando identidades trigonométricas, mas essa forma já está adequada para coordenadas esféricas.

Passo 6

Agora, a parte b) da questão: x = r sintheta cosphi .
Novamente, substituímos y = r sintheta sinphi , z = r costheta e (r sintheta cosphi)^2 + (r sintheta sinphi)^2 + 9(r costheta)^2 = 16 pelas expressões em coordenadas esféricas:
Substituindo na equação:

Passo 7

Simplificando os termos:
r^2 sin^2theta cos^2phi + r^2 sin^2theta sin^2phi + 9r^2 cos^2theta = 16
Fatorando r^2 (sin^2theta cos^2phi + sin^2theta sin^2phi + 9 cos^2theta) = 16 :
r^2 (sin^2theta + 9 cos^2theta) = 16
Novamente, sabemos que , então:

Passo 8

Isolando r^2 = 16sin^2theta + 9 cos^2theta :
r = 4raizsin^2theta + 9 cos^2theta
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

As equações cartesianas convertidas para coordenadas esféricas são:
a)
b)

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