Considere .
a) Desenhe as curvas de nível 0,1 e 2 ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos desenhar as curvas de nível para os valores 0, 1 e 2. Curvas de nível são linhas no plano que conectam todos os pontos onde a função assume o mesmo valor. Neste caso, vamos encontrar onde é igual a 0, 1 e 2.

Passo 2

Para desenhar as curvas de nível, precisamos resolver a equação para cada valor de (0, 1 e 2). Isso significa que vamos isolar uma das variáveis (por exemplo, ) em termos de para cada valor de . Assim, conseguiremos expressar como uma função de e plotar as curvas no plano.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação para cada valor de :
  1. Para :
  2. Para :
    Aqui, temos duas possibilidades: (a linha horizontal no eixo ) e (a linha vertical no eixo ).
  3. Para :

Passo 4

Agora que temos as equações das curvas de nível para cada valor de , podemos descrevê-las:
  • Curva de nível 0 ( ): é uma hipérbole que se encontra nos quadrantes onde e têm sinais opostos.
  • Curva de nível 1 ( ): Consiste na união das linhas e , ou seja, os eixos coordenados.
  • Curva de nível 2 ( ): é outra hipérbole, mas nos quadrantes onde e têm o mesmo sinal.

Resposta

As curvas de nível da função são:
  • Para :
  • Para : As linhas e
  • Para :
Você pode desenhar essas curvas no plano conforme descrito para visualizar como elas se comportam.

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Ache a equação do plano tangente à superfície regular no ponto .
Derive.
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