Considere
.
a) Desenhe as curvas de nível 0,1 e 2 ;
a) Desenhe as curvas de nível 0,1 e 2 ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos desenhar as curvas de nível para os valores 0, 1 e 2. Curvas de nível são linhas no plano que conectam todos os pontos onde a função assume o mesmo valor. Neste caso, vamos encontrar onde
é igual a 0, 1 e 2.
Passo 2
Para desenhar as curvas de nível, precisamos resolver a equação
para cada valor de
(0, 1 e 2). Isso significa que vamos isolar uma das variáveis (por exemplo,
) em termos de
para cada valor de
. Assim, conseguiremos expressar
como uma função de
e plotar as curvas no plano.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação para cada valor de
:
-
Para
: -
Para
: Aqui, temos duas possibilidades:(a linha horizontal no eixo ) e (a linha vertical no eixo ). -
Para
:
Passo 4
Agora que temos as equações das curvas de nível para cada valor de
, podemos descrevê-las:
- Curva de nível 0 (
): é uma hipérbole que se encontra nos quadrantes onde e têm sinais opostos. - Curva de nível 1 (
): Consiste na união das linhas e , ou seja, os eixos coordenados. - Curva de nível 2 (
): é outra hipérbole, mas nos quadrantes onde e têm o mesmo sinal.
Resposta
As curvas de nível da função
são:
- Para
: - Para
: As linhas e - Para
:
Você pode desenhar essas curvas no plano
conforme descrito para visualizar como elas se comportam.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido definido pelas superfícies
e
.
Ache a equação do plano tangente à superfície regular
no ponto
.
Derive.
Ache o valor absoluto da derivada direcional em
da função
na direção normal, em
, à superfície
.