Sabe-se que f é contínua em p = 2 e que f(2) = 8. Mostre que existe delta > 0 tal que para todo x em Df,
2 - delta < x < 2 + delta => f(x) > 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função contínua no ponto e que . Nosso objetivo é mostrar que existe um número positivo tal que, se pegarmos qualquer bem pertinho de 2 (dentro de e ), o valor da função vai ser maior que 7. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se, para qualquer diferença pequena que a gente queira no valor de , existe uma distância correspondente em que garante essa diferença. Formalmente, para todo , existe um tal que:

Passo 3

No nosso caso, sabemos que . Queremos garantir que . Isso significa que queremos que a diferença entre e 8 seja menor que 1, ou seja:
Isso vai nos garantir que está no intervalo , portanto, sempre maior que 7.

Passo 4

Agora, aplicando a definição de continuidade com , existe um tal que se , então:
Isso quer dizer que sempre que estiver dentro do intervalo , o valor de vai ser maior que 7.

Resposta

Assim, existe um tal que para todo no domínio de , se , então .

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