Sabe-se que
é contínua em
e que
. Mostre que existe
tal que para todo
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função contínua no ponto
e que
. Nosso objetivo é mostrar que existe um número positivo
tal que, se pegarmos qualquer
bem pertinho de 2 (dentro de
e
), o valor da função
vai ser maior que 7. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se, para qualquer diferença pequena que a gente queira no valor de
, existe uma distância correspondente em
que garante essa diferença. Formalmente, para todo
, existe um
tal que:
Passo 3
No nosso caso, sabemos que
. Queremos garantir que
. Isso significa que queremos que a diferença entre
e 8 seja menor que 1, ou seja:
Isso vai nos garantir que
está no intervalo
, portanto, sempre maior que 7.
Passo 4
Agora, aplicando a definição de continuidade com
, existe um
tal que se
, então:
Isso quer dizer que sempre que
estiver dentro do intervalo
, o valor de
vai ser maior que 7.
Resposta
Assim, existe um
tal que para todo
no domínio de
, se
, então
.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
no plano.
c) Utilize a função potencial para calcular a integral de linha , onde
é qualquer curva suave com ponto inicial
, e ponto final
.
c) Utilize a função potencial para calcular a integral de linha
Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) em
b)
Derive as funções abaixo
Ache o valor da derivada direcional no ponto
para a função dada na direção e sentido de
.
a)
a)