Ache os valores de a e b para os quais o sistema (solução única, infinitas soluções e incompatível) seguiente tem ou não soluções.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares com duas variáveis,
e
, e dois parâmetros,
e
. A equação é:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem esse sistema ter uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar o método da determinante das equações, que nos ajuda a entender quando um sistema tem soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema de duas equações lineares tem solução única quando as duas retas representadas pelas equações se cruzam em exatamente um ponto. Para isso, o determinante do sistema precisa ser diferente de zero.
Vamos escrever as equações na forma padrão
:
-
Aqui,, , e . -
Aqui,, , e .
O determinante (
) do sistema é calculado assim:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos analisar quando esse determinante é diferente de zero, igual a zero ou quando as equações são proporcionais.
-
Solução Única: Quando
. Isso significa que as retas se cruzam em um ponto único. Então, temos:Portanto, para qualquer valor dediferente de -2, o sistema terá uma solução única. -
Sem Solução ou Infinitas Soluções: Quando
. Nesse caso, as retas podem ser paralelas (sem solução) ou coincidentes (infinitas soluções). Igualando o determinante a zero:Então, quando, precisamos verificar se as equações são paralelas ou coincidentes.
Passo 4
Para
, vamos substituir esse valor nas equações originais:
-
Simplificando:
-
Agora, com
, temos:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, as duas equações precisam ser equivalentes, ou seja, uma é múltiplo da outra. Observando as duas equações:
Para que sejam equivalentes:
Então, se
e
, as duas equações são iguais e o sistema tem infinitas soluções.
Por outro lado, se
mas
, as equações ficam:
Isso significa que não há solução, pois uma reta não pode ser igual a outra se os termos constantes forem diferentes. Então, o sistema é incompatível.
Resposta
-
Solução Única: Para todos os valores de
diferente de , ou seja, . -
Infinitas Soluções: Quando
e . -
Sistema Incompatível (Sem Solução): Quando
e .