Ache os valores de a e b para os quais o sistema (solução única, infinitas soluções e incompatível) seguiente tem ou não soluções.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares com duas variáveis, e , e dois parâmetros, e . A equação é:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem esse sistema ter uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar o método da determinante das equações, que nos ajuda a entender quando um sistema tem soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema de duas equações lineares tem solução única quando as duas retas representadas pelas equações se cruzam em exatamente um ponto. Para isso, o determinante do sistema precisa ser diferente de zero.
Vamos escrever as equações na forma padrão :

  1. Aqui, , , e .

  2. Aqui, , , e .
O determinante ( ) do sistema é calculado assim:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos analisar quando esse determinante é diferente de zero, igual a zero ou quando as equações são proporcionais.
  1. Solução Única: Quando . Isso significa que as retas se cruzam em um ponto único.
    Então, temos:
    Portanto, para qualquer valor de diferente de -2, o sistema terá uma solução única.
  2. Sem Solução ou Infinitas Soluções: Quando . Nesse caso, as retas podem ser paralelas (sem solução) ou coincidentes (infinitas soluções).
    Igualando o determinante a zero:
    Então, quando , precisamos verificar se as equações são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para , vamos substituir esse valor nas equações originais:

  1. Simplificando:
Agora, com , temos:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, as duas equações precisam ser equivalentes, ou seja, uma é múltiplo da outra. Observando as duas equações:
Para que sejam equivalentes:
Então, se e , as duas equações são iguais e o sistema tem infinitas soluções.
Por outro lado, se mas , as equações ficam:
ú
Isso significa que não há solução, pois uma reta não pode ser igual a outra se os termos constantes forem diferentes. Então, o sistema é incompatível.

Resposta

  • Solução Única: Para todos os valores de diferente de , ou seja, .
  • Infinitas Soluções: Quando e .
  • Sistema Incompatível (Sem Solução): Quando e .

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