Determine a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor . Basicamente, a projeção mostra como o vetor se “projeta” na direção do vetor . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro, que envolve produto escalar e magnitude dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a projeção ortogonal de sobre :
Aqui, representa o produto escalar dos vetores e , e é a magnitude do vetor .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar :
O produto escalar basicamente multiplica os componentes correspondentes dos vetores e soma esses produtos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude de , que é :
A magnitude de um vetor é o seu “tamanho” no espaço, calculada através da raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes.

Passo 5

Agora, podemos substituir os valores na fórmula da projeção:
Simplificamos para 6, e então dividimos 4 por 6 para obter .

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o escalar pelo vetor :
Isso nos dá a projeção do vetor sobre o vetor .

Resposta

A projeção ortogonal de sobre é .

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Sejam e vertores no espaço, e seja um vetor paralelo ao vetor . Sabendo que o volume do paralelepípedo determinado por e é 6 unidades de volume, encontre o vetor . (há 2 possibilidades).
Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
©
Ache os valores de a e b para os quais o sistema (solução única, infinitas soluções e incompatível) seguiente tem ou não soluções.