Determine a projeção ortogonal do vetor W=(0,2,2) sobre o vetor V=(2,1,1).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor . Basicamente, a projeção mostra como o vetor se “projeta” na direção do vetor . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro, que envolve produto escalar e magnitude dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a projeção ortogonal de projV W = ( W cdot V|V|^2 ) V sobre :
Aqui, representa o produto escalar dos vetores e , e é a magnitude do vetor .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar W cdot V = (0)(2) + (2)(1) + (2)(1) = 0 + 2 + 2 = 4 :
O produto escalar basicamente multiplica os componentes correspondentes dos vetores e soma esses produtos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude de |V| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 , que é :
A magnitude de um vetor é o seu “tamanho” no espaço, calculada através da raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes.

Passo 5

Agora, podemos substituir os valores na fórmula da projeção:
projV W = ( 4(raiz6)^2 ) V = ( 46 ) V = ( 23 ) V
Simplificamos para 6, e então dividimos 4 por 6 para obter .

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o escalar projV W = 23 cdot (2, 1, 1) = ( 43, 23, 23 ) pelo vetor :
Isso nos dá a projeção do vetor sobre o vetor .

Resposta

A projeção ortogonal de sobre é .

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