Determine a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
. Basicamente, a projeção mostra como o vetor
se “projeta” na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro, que envolve produto escalar e magnitude dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a projeção ortogonal de
sobre
:
Aqui,
representa o produto escalar dos vetores
e
, e
é a magnitude do vetor
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
O produto escalar basicamente multiplica os componentes correspondentes dos vetores e soma esses produtos.
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude de
, que é
:
A magnitude de um vetor é o seu “tamanho” no espaço, calculada através da raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes.
Passo 5
Agora, podemos substituir os valores na fórmula da projeção:
Simplificamos
para 6, e então dividimos 4 por 6 para obter
.
Passo 6
Finalmente, multiplicamos o escalar
pelo vetor
:
Isso nos dá a projeção do vetor
sobre o vetor
.
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é
.
Exercícios relacionados
Se A e B são matrizes simétricas e idempotentes e
, verifique que
também é idempotente.
Sejam
e
vertores no espaço, e seja
um vetor paralelo ao vetor
. Sabendo que o volume do paralelepípedo determinado por
e
é 6 unidades de volume, encontre o vetor
. (há 2 possibilidades).
Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
©
©
Ache os valores de a e b para os quais o sistema (solução única, infinitas soluções e incompatível) seguiente tem ou não soluções.