Beleza, vamos calcular o determinante da matriz que é uma matriz quadrada 5x5. Para isso, vamos precisar entender como encontrar determinantes de matrizes maiores usando operações de linha para simplificar a matriz. Vamos seguir passo a passo para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Passo 3
Para facilitar o cálculo do determinante, vamos transformar a matriz em uma matriz triangular superior usando operações de linha (como somas de linhas e multiplicações por constantes). Lembre-se que essas operações não mudam o valor do determinante, exceto quando trocamos linhas ou multiplicamos uma linha por uma constante.
Passo 4
Vamos começar zerando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (ou seja, tornar os elementos , , , e iguais a zero).
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar esses elementos:
- Para a segunda linha:
- Para a terceira linha:
- Para a quarta linha:
- Para a quinta linha:
Passo 5
Aplicando essas operações, nossa matriz fica assim:
Passo 6
Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. Queremos zerar os elementos abaixo de . Para isso:
- Primeira coisa, podemos dividir a segunda linha por para simplificar, mas isso complicaria o determinante. Em vez disso, vamos usar a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela.
Usamos a segunda linha para eliminar os elementos , , e :
-
-
-
Passo 7
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 8
Agora, vamos simplificar mais. Vamos focar na terceira coluna. O próximo passo é zerar os elementos abaixo de . Observamos que , então precisamos trocar as linhas para colocar um elemento não nulo nessa posição.
Vamos trocar a terceira linha com a quarta linha:
**Lembrete:** Trocar linhas multiplica o determinante por .
Passo 9
Agora, vamos usar a terceira linha para zerar os elementos abaixo dela na quarta coluna:
-
Após essa operação:
Passo 10
Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelo fator de troca de linhas que fizemos.
Diagonal principal:
-
E lembrando que trocamos uma vez as linhas, multiplicamos por :
Determinante
Resposta
Calculando:
Portanto, o determinante da matriz é .