Calcule os determinantes das matrizes abaixo: (c)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz que é uma matriz quadrada 5x5. Para isso, vamos precisar entender como encontrar determinantes de matrizes maiores usando operações de linha para simplificar a matriz. Vamos seguir passo a passo para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :

Passo 3

Para facilitar o cálculo do determinante, vamos transformar a matriz em uma matriz triangular superior usando operações de linha (como somas de linhas e multiplicações por constantes). Lembre-se que essas operações não mudam o valor do determinante, exceto quando trocamos linhas ou multiplicamos uma linha por uma constante.

Passo 4

Vamos começar zerando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (ou seja, tornar os elementos , , , e iguais a zero). Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar esses elementos: - Para a segunda linha: - Para a terceira linha: - Para a quarta linha: - Para a quinta linha:

Passo 5

Aplicando essas operações, nossa matriz fica assim:

Passo 6

Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. Queremos zerar os elementos abaixo de . Para isso: - Primeira coisa, podemos dividir a segunda linha por para simplificar, mas isso complicaria o determinante. Em vez disso, vamos usar a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela. Usamos a segunda linha para eliminar os elementos , , e : - - -

Passo 7

Após essas operações, a matriz fica:

Passo 8

Agora, vamos simplificar mais. Vamos focar na terceira coluna. O próximo passo é zerar os elementos abaixo de . Observamos que , então precisamos trocar as linhas para colocar um elemento não nulo nessa posição. Vamos trocar a terceira linha com a quarta linha: **Lembrete:** Trocar linhas multiplica o determinante por .

Passo 9

Agora, vamos usar a terceira linha para zerar os elementos abaixo dela na quarta coluna: - Após essa operação:

Passo 10

Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelo fator de troca de linhas que fizemos. Diagonal principal: - E lembrando que trocamos uma vez as linhas, multiplicamos por : Determinante

Resposta

Calculando: Portanto, o determinante da matriz é .

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