Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
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C=[ccccc 1 & 2 & -1 & 3 & 1 2 & -1 & 1 & -2 & 3 3 & 1 & 0 & 2 & -1 5 & 1 & 2 & -3 & 4 -2 & 3 & -1 & 1 & -2 ]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz que é uma matriz quadrada 5x5. Para isso, vamos precisar entender como encontrar determinantes de matrizes maiores usando operações de linha para simplificar a matriz. Vamos seguir passo a passo para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz C = 1 & 2 & -1 & 3 & 1 2 & -1 & 1 & -2 & 3 3 & 1 & 0 & 2 & -1 5 & 1 & 2 & -3 & 4 -2 & 3 & -1 & 1 & -2 :

Passo 3

Para facilitar o cálculo do determinante, vamos transformar a matriz em uma matriz triangular superior usando operações de linha (como somas de linhas e multiplicações por constantes). Lembre-se que essas operações não mudam o valor do determinante, exceto quando trocamos linhas ou multiplicamos uma linha por uma constante.

Passo 4

Vamos começar zerando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (ou seja, tornar os elementos , , , e iguais a zero).
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar esses elementos:
  • Para a segunda linha:
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
  • Para a quinta linha:

Passo 5

Aplicando essas operações, nossa matriz fica assim:
C' = 1 & 2 & -1 & 3 & 1 0 & -5 & 3 & -8 & 1 0 & -5 & 3 & -7 & -3 0 & -9 & 7 & -18 & -1 0 & 7 & -3 & 7 & 0

Passo 6

Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. Queremos zerar os elementos abaixo de . Para isso:
  • Primeira coisa, podemos dividir a segunda linha por para simplificar, mas isso complicaria o determinante. Em vez disso, vamos usar a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela.
Usamos a segunda linha para eliminar os elementos , , e :

Passo 7

Após essas operações, a matriz fica:
C'' = 1 & 2 & -1 & 3 & 1 0 & -5 & 3 & -8 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -4 0 & 0 & 125 & -65 & -145 0 & 0 & 05 & 395 & 75

Passo 8

Agora, vamos simplificar mais. Vamos focar na terceira coluna. O próximo passo é zerar os elementos abaixo de C''' = 1 & 2 & -1 & 3 & 1 0 & -5 & 3 & -8 & 1 0 & 0 & 125 & -65 & -145 0 & 0 & 0 & 1 & -4 0 & 0 & 0 & 395 & 75 . Observamos que , então precisamos trocar as linhas para colocar um elemento não nulo nessa posição.
Vamos trocar a terceira linha com a quarta linha:
Lembrete: Trocar linhas multiplica o determinante por .

Passo 9

Agora, vamos usar a terceira linha para zerar os elementos abaixo dela na quarta coluna:
  • C'''' = 1 & 2 & -1 & 3 & 1 0 & -5 & 3 & -8 & 1 0 & 0 & 125 & -65 & -145 0 & 0 & 0 & 1 & -4 0 & 0 & 0 & 0 & 795
Após essa operação:

Passo 10

Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelo fator de troca de linhas que fizemos.
Diagonal principal:
E lembrando que trocamos uma vez as linhas, multiplicamos por :
Determinante

Resposta

Calculando:
D = -1 times (-5) times 125 times 1 times 795 = 1 times 121 times 795 = 9485
Portanto, o determinante da matriz é .

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