Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o polinômio característico de um operador linear, encontrar seus autovalores e autovetores, e também dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Estamos trabalhando com operadores lineares no espaço
, que é o conjunto de polinômios de grau no máximo 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o operador em forma de matriz, calcular o polinômio característico, encontrar os autovalores e autovetores, e finalmente determinar as bases e as dimensões dos autoespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Para isso, precisamos escolher uma base para
. Vamos usar a base padrão
. Com essa base, qualquer polinômio
pode ser representado como um vetor
.
Agora, aplicando o operador
a
, temos:
Isso corresponde ao vetor
. Portanto, a matriz de
na base
é:
Passo 3
Agora que temos a matriz
, vamos encontrar o polinômio característico. O polinômio característico de uma matriz é dado por
, onde
é um escalar e
é a matriz identidade.
Calculando
:
A determinante dessa matriz é:
Então, o polinômio característico é:
Passo 4
Agora vamos encontrar os autovalores, que são as raízes do polinômio característico
. Resolvendo
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um. Para um autovalor
, o autovetor
satisfaz
.
Vamos começar com
. Substituindo na matriz
:
Resolvendo o sistema:
Podemos escolher
, então
.
Fazendo o mesmo para
:
Resolvendo:
Escolhendo
, temos
.
Passo 6
Finalmente, vamos determinar as bases e as dimensões de cada autoespaço correspondente a cada autovalor. Cada autoespaço é o conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor, junto com o vetor zero.
Para
:
- Autoespaço:
- Dimensão: 1
Para
:
- Autoespaço:
- Dimensão: 1
Resposta
O polinômio característico do operador
é
. Os autovalores são
e
. Para cada autovalor, os autovetores correspondentes são
e
, respectivamente. Os autoespaços têm base
e
, cada um com dimensão 1.