Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: P1(x) P1(x), T(a x+b)=2 a x-b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o polinômio característico de um operador linear, encontrar seus autovalores e autovetores, e também dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Estamos trabalhando com operadores lineares no espaço , que é o conjunto de polinômios de grau no máximo 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o operador em forma de matriz, calcular o polinômio característico, encontrar os autovalores e autovetores, e finalmente determinar as bases e as dimensões dos autoespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear b a como uma matriz. Para isso, precisamos escolher uma base para T(ax + b) = 2a x - b . Vamos usar a base padrão -b 2a . Com essa base, qualquer polinômio A = 0 & -1 2 & 0 pode ser representado como um vetor .
Agora, aplicando o operador a , temos:
Isso corresponde ao vetor . Portanto, a matriz de na base é:

Passo 3

Agora que temos a matriz A - lambda I = -lambda & -1 2 & -lambda , vamos encontrar o polinômio característico. O polinômio característico de uma matriz é dado por det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (-1)(2) = lambda^2 + 2 , onde p(lambda) = lambda^2 + 2 é um escalar e é a matriz identidade.
Calculando :
A determinante dessa matriz é:
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Agora vamos encontrar os autovalores, que são as raízes do polinômio característico lambda^2 = -2 implies lambda = pm raiz-2 = pm i raiz2 . Resolvendo :
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um. Para um autovalor -i raiz2 & -1 2 & -i raiz2 v1 v2 = 0 0 , o autovetor - i raiz2 v1 - v2 = 0 implies v2 = -i raiz2 v1 satisfaz 1 -i raiz2 .
Vamos começar com i raiz2 & -1 2 & i raiz2 v1 v2 = 0 0 . Substituindo na matriz i raiz2 v1 - v2 = 0 implies v2 = i raiz2 v1 :
1 i raiz2
Resolvendo o sistema:
Podemos escolher , então .
Fazendo o mesmo para :
Resolvendo:
Escolhendo , temos .

Passo 6

Finalmente, vamos determinar as bases e as dimensões de cada autoespaço correspondente a cada autovalor. Cada autoespaço é o conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor, junto com o vetor zero.
Para 1 -i raiz2 :
  • Autoespaço: 1 i raiz2
  • Dimensão: 1
Para :
  • Autoespaço:
  • Dimensão: 1

Resposta

O polinômio característico do operador 1 -i raiz2 é 1 i raiz2 . Os autovalores são 1 -i raiz2 e 1 i raiz2 . Para cada autovalor, os autovetores correspondentes são e , respectivamente. Os autoespaços têm base e , cada um com dimensão 1.

Exercícios relacionados