Ache os valores das constantes c e k que tornam a função contínua em -\infty, +\infty.
a) f(x) = { 3x + 7, se x <= 4; kx - 1, se x > 4 }
b) f(x) = { k x - 1, se x < 2; k x², se x ≥ 2 }
c) f(x) = { x, x <= 1; c*x + k, se 1 < x < 4; -2*x, se x >= 4 }
d) f(x) = { x + 2c, x < -2; 3c*x + k, -2 <= x <= 1; 3x - 2k, x > 1 }

Passo 1

Vamos resolver a parte a do exercício. O objetivo é encontrar o valor da constante que torna a função contínua em todo o domínio . A função dada é:
Para a função ser contínua em , os limites laterais devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, calculamos o limite quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ):

Passo 3

Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 4 pela direita ( ):

Passo 4

Para a continuidade, igualamos os dois limites:

Passo 5

Resolvendo a equação para :

Passo 6

Vamos resolver a parte b do exercício. Precisamos encontrar o valor da constante que torna a função contínua em todo o domínio . A função dada é:

Passo 7

Para garantir a continuidade em , os limites laterais devem ser iguais.

Passo 8

Calculamos o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):

Passo 9

Calculamos o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):

Passo 10

Igualamos os dois limites para garantir a continuidade:

Passo 11

Resolvendo a equação para :

Passo 12

Vamos resolver a parte c do exercício. Devemos encontrar os valores das constantes e que tornam a função contínua em todo o domínio . A função dada é:

Passo 13

A continuidade deve ser garantida nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e .

Passo 14

Primeiro, garantimos a continuidade em .
Igualando os limites:
çã

Passo 15

Agora, garantimos a continuidade em .
Igualando os limites:
çã

Passo 16

Agora, temos um sistema de duas equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:

Passo 17

Substituindo na Equação 1:

Passo 18

Vamos resolver a parte d do exercício. Precisamos encontrar os valores das constantes e que tornam a função contínua em todo o domínio . A função dada é:

Passo 19

A continuidade deve ser garantida nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e .

Passo 20

Primeiro, garantimos a continuidade em .
Igualando os limites:
çã

Passo 21

Agora, garantimos a continuidade em .
Igualando os limites:
çã

Passo 22

Temos agora um sistema de duas equações:
çãçã
Vamos resolver o sistema passo a passo.

Passo 23

Primeiro, da Equação 1, isolamos :

Passo 24

Substituímos na Equação 2:

Passo 25

Agora, substituímos na expressão para :

Resposta

Os valores das constantes que tornam a função contínua são e .

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