Calcule o limite, se existir.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Aqui estamos trabalhando com o conteúdo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões racionais e verificar se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, tentamos substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Vemos que obtemos uma divisão por zero, o que indica que precisamos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento do limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador
. No entanto, percebemos que esse trinômio não é fatorável de forma simples. Outra abordagem é reescrever o numerador de forma que possamos cancelar o denominador.
Passo 4
Observamos que o denominador é
. Vamos tentar expressar o numerador de modo que possamos extrair um fator comum de
:
Vamos encontrar os valores de
e
que satisfaçam a igualdade acima. Explicando de forma simples, estamos tentando dividir o numerador por
para identificar se há um fator comum.
Passo 5
Expandindo a expressão
:
Comparando com o numerador original
, temos:
Portanto, podemos reescrever o numerador como:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, simplificamos cancelando o fator
:
Portanto, a expressão simplificada fica:
Passo 7
Agora, analisamos o comportamento da expressão quando
se aproxima de 2. O termo
tende a infinito, já que o denominador se aproxima de zero.
Passo 8
Conclusão: O limite não existe porque a expressão tende a mais ou menos infinito dependendo da direção pela qual
se aproxima de 2.
Resposta
O limite
não existe, pois a expressão tende a infinito.