Calcule o limite, se existir.
a) lim x 2 x^2-x+6x-2
b) lim x -4 x^2+5 x+4x^2+3 x-4
c) lim x 0 (4+x)^2-16x, R: 8
d) lim x 0 raiz1+x-1x
e) lim x 0 (1+x)^4-1x, R: 4
f) lim x 2 x^4-16x-2
g) lim x 9 9-x3-raizx, R: 6
h) lim x 9 x^2-81raizx-3
i) lim x 7 raizx+2-3x-7, R: 1 / 6
j) lim x 1 raizx-x^21-raizx
k) lim x -4 14+1x4+x

Passo 1

Vamos calcular o limite . Aqui estamos trabalhando com o conteúdo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões racionais e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir 2^2 - 2 + 62 - 2 = 4 - 2 + 60 = 80 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Vemos que obtemos uma divisão por zero, o que indica que precisamos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento do limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador . No entanto, percebemos que esse trinômio não é fatorável de forma simples. Outra abordagem é reescrever o numerador de forma que possamos cancelar o denominador.

Passo 4

Observamos que o denominador é x^2 - x + 6 = (x - 2)(x + a) + b . Vamos tentar expressar o numerador de modo que possamos extrair um fator comum de :
Vamos encontrar os valores de e que satisfaçam a igualdade acima. Explicando de forma simples, estamos tentando dividir o numerador por para identificar se há um fator comum.

Passo 5

Expandindo a expressão x^2 + a x - 2x - 2a + b = x^2 + (a - 2)x + (-2a + b) :
a - 2 = -1 Rightarrow a = 1
Comparando com o numerador original -2a + b = 6 Rightarrow -2(1) + b = 6 Rightarrow b = 8 , temos:
x^2 - x + 6 = (x - 2)(x + 1) + 8
Portanto, podemos reescrever o numerador como:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
x^2-x+6x-2 = (x - 2)(x + 1) + 8x - 2 = (x - 2)(x + 1)x - 2 + 8x - 2 = x + 1 + 8x - 2
Agora, simplificamos cancelando o fator (x - 2)(x + 1)x - 2 = x + 1 :
x + 1 + 8x - 2
Portanto, a expressão simplificada fica:

Passo 7

Agora, analisamos o comportamento da expressão quando se aproxima de 2. O termo tende a infinito, já que o denominador se aproxima de zero.

Passo 8

Conclusão: O limite não existe porque a expressão tende a mais ou menos infinito dependendo da direção pela qual se aproxima de 2.

Resposta

O limite não existe, pois a expressão tende a infinito.

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