Dadas as funções injetoras f, encontre sua função inversa
a) f(x) = raiz(10 - 3 x)
b) f(x) = (4x - 1) / (2x + 3)
c) f(x) = 5*x - 7
d) f(x) = 3 x^3 + 7
e) f(x) = raiz(3)(2x - 4)
f) f(x) = (2 - x) / (1 - x)
g) f(x) = 5 - 2/x

Passo 1

Vamos resolver a função inversa da função dada na letra a), que é . Para isso, vamos precisar entender como encontrar uma função inversa, ou seja, uma função que “desfaz” a função original.

Passo 2

Começamos substituindo por :

Passo 3

Agora, trocamos por e por :

Passo 4

Para isolar , elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Em seguida, isolamos o termo que contém :

Passo 6

Finalmente, dividimos ambos os lados por 3 para encontrar :

Passo 7

Vamos resolver a função inversa da função dada na letra b), que é . Precisamos encontrar uma função que, ao ser composta com , retorne .

Passo 8

Começamos substituindo por :

Passo 9

Trocamos por e por :

Passo 10

Vamos resolver para . Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 11

Distribuímos :

Passo 12

Isolamos os termos com de um lado:

Passo 13

Fatoramos :

Passo 14

Dividimos ambos os lados por :

Passo 15

Vamos resolver a função inversa da função dada na letra c), que é . Vamos encontrar uma função que desfaz a operação feita por .

Passo 16

Substituímos por :

Passo 17

Trocamos por e por :

Passo 18

Isolamos adicionando 7 a ambos os lados:

Passo 19

Dividimos ambos os lados por 5:

Passo 20

Vamos resolver a função inversa da função dada na letra d), que é . Nosso objetivo é encontrar uma função que inverta essa operação.

Passo 21

Substituímos por :

Passo 22

Trocamos por e por :

Passo 23

Isolamos subtraindo 7 de ambos os lados:

Passo 24

Dividimos ambos os lados por 3:

Passo 25

Tiramos a raiz cúbica de ambos os lados para isolar :

Passo 26

Vamos resolver a função inversa da função dada na letra e), que é . Precisamos encontrar uma função que revertê essa operação.

Passo 27

Substituímos por :

Passo 28

Trocamos por e por :

Passo 29

Elevamos ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:

Passo 30

Isolamos adicionando 4 a ambos os lados:

Passo 31

Dividimos ambos os lados por 2:

Passo 32

Vamos resolver a função inversa da função dada na letra f), que é . Nosso objetivo é encontrar uma função que desfaz essa operação.

Passo 33

Substituímos por :

Passo 34

Trocamos por e por :

Passo 35

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 36

Distribuímos :

Passo 37

Isolamos os termos com de um lado:

Passo 38

Fatoramos :

Passo 39

Dividimos ambos os lados por (ou ):

Passo 40

Vamos resolver a função inversa da função dada na letra g), que é . Precisamos encontrar uma função que revertê essa operação.

Passo 41

Substituímos por :

Passo 42

Trocamos por e por :

Passo 43

Isolamos o termo com subtraindo 5 de ambos os lados:

Passo 44

Multiplicamos ambos os lados por -1:

Passo 45

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 46

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A função inversa de é:

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