Ache os valores de , para os quais o sistema linear tem solução não trivial, em que:
а)
c)
b)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem o sistema linear ter soluções não triviais. Isso significa que estamos procurando os valores próprios (ou autovalores) da matriz . Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e resolver a equação .
Passo 2
Vamos começar com a parte a), onde a matriz é:
Primeiro, precisamos formar a matriz , onde é a matriz identidade de ordem (neste caso, 3).
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. No nosso caso, a matriz já é triangular superior, então:
Passo 4
Para encontrar os valores de que satisfazem , igualamos o determinante a zero:
Isso nos dá as seguintes soluções:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), onde a matriz é:
Também precisamos encontrar os valores próprios dessa matriz seguindo o mesmo processo.
Passo 6
Formamos a matriz :
Passo 7
Calculamos o determinante. Novamente, é triangular superior, então:
Passo 8
Igualamos o determinante a zero:
As soluções são:
Passo 9
Vamos agora para a parte c), com a matriz:
Nosso objetivo continua sendo encontrar os valores próprios dessa matriz.
Passo 10
Formamos a matriz :
Passo 11
Calculamos o determinante. A matriz é triangular superior, então:
Passo 12
Igualamos o determinante a zero:
As soluções são:
Passo 13
Finalmente, vamos para a parte d), com a matriz:
Vamos encontrar os valores próprios desta matriz.
Passo 14
Formamos a matriz :
Passo 15
Calculamos o determinante. Como a matriz é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal: