Ache os valores de lambda, para os quais o sistema linear (A-lambda In) X=0 tem solução não trivial, em que:
а) A=[ccc2 & 0 & 0 3 & -1 & 0 0 & 4 & 3]
c) A=[cccc1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2]
b) A=[lll2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2]
d) A=[llll2 & 2 & 3 & 4 0 & 2 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem o sistema linear ter soluções não triviais. Isso significa que estamos procurando os valores próprios (ou autovalores) da matriz . Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e resolver a equação .

Passo 2

Vamos começar com a parte a), onde a matriz A = 2 & 0 & 0 3 & -1 & 0 0 & 4 & 3 é:
A - lambda I3 = 2 - lambda & 0 & 0 3 & -1 - lambda & 0 0 & 4 & 3 - lambda
Primeiro, precisamos formar a matriz , onde é a matriz identidade de ordem (neste caso, 3).

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. No nosso caso, a matriz det(A - lambda I3) = (2 - lambda) times (-1 - lambda) times (3 - lambda) já é triangular superior, então:

Passo 4

Para encontrar os valores de (2 - lambda)(-1 - lambda)(3 - lambda) = 0 que satisfazem 2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2 , igualamos o determinante a zero:
-1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1
Isso nos dá as seguintes soluções:
3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 3

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), onde a matriz A = 2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 é:
Também precisamos encontrar os valores próprios dessa matriz seguindo o mesmo processo.

Passo 6

Formamos a matriz A - lambda I3 = 2 - lambda & 3 & 0 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 2 - lambda :

Passo 7

Calculamos o determinante. Novamente, det(A - lambda I3) = (2 - lambda)(1 - lambda)(2 - lambda) é triangular superior, então:

Passo 8

Igualamos o determinante a zero:
(2 - lambda)^2 (1 - lambda) = 0
As soluções são:
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2 (endido com mu

Passo 9

Vamos agora para a parte c), com a matriz:
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2
Nosso objetivo continua sendo encontrar os valores próprios dessa matriz.

Passo 10

Formamos a matriz A - lambda I4 = 1 - lambda & 2 & 3 & 4 0 & -1 - lambda & 3 & 2 0 & 0 & 3 - lambda & 3 0 & 0 & 0 & 2 - lambda :

Passo 11

Calculamos o determinante. A matriz det(A - lambda I4) = (1 - lambda)(-1 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda) é triangular superior, então:

Passo 12

Igualamos o determinante a zero:
(1 - lambda)(-1 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda) = 0
As soluções são:
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
-1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1
3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 3
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2

Passo 13

Finalmente, vamos para a parte d), com a matriz:
A = 2 & 2 & 3 & 4 0 & 2 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1
Vamos encontrar os valores próprios desta matriz.

Passo 14

Formamos a matriz A - lambda I4 = 2 - lambda & 2 & 3 & 4 0 & 2 - lambda & 3 & 2 0 & 0 & 1 - lambda & 1 0 & 0 & 0 & 1 - lambda :

Passo 15

Calculamos o determinante. Como a matriz det(A - lambda I4) = (2 - lambda)(2 - lambda)(1 - lambda)(1 - lambda) é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 16

Igualamos o determinante a zero:
(2 - lambda)^2 (1 - lambda)^2 = 0
As soluções são:
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2 (com mu
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1 (com mu

Resposta

Os valores de lambda = 2 (com mu são:

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