Ache os valores de , para os quais o sistema linear tem solução não trivial, em que:
а)
c)
b)
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem o sistema linear ter soluções não triviais. Isso significa que estamos procurando os valores próprios (ou autovalores) da matriz . Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e resolver a equação .

Passo 2

Vamos começar com a parte a), onde a matriz é:
Primeiro, precisamos formar a matriz , onde é a matriz identidade de ordem (neste caso, 3).

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. No nosso caso, a matriz já é triangular superior, então:

Passo 4

Para encontrar os valores de que satisfazem , igualamos o determinante a zero:
Isso nos dá as seguintes soluções:

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), onde a matriz é:
Também precisamos encontrar os valores próprios dessa matriz seguindo o mesmo processo.

Passo 6

Formamos a matriz :

Passo 7

Calculamos o determinante. Novamente, é triangular superior, então:

Passo 8

Igualamos o determinante a zero:
As soluções são:

Passo 9

Vamos agora para a parte c), com a matriz:
Nosso objetivo continua sendo encontrar os valores próprios dessa matriz.

Passo 10

Formamos a matriz :

Passo 11

Calculamos o determinante. A matriz é triangular superior, então:

Passo 12

Igualamos o determinante a zero:
As soluções são:

Passo 13

Finalmente, vamos para a parte d), com a matriz:
Vamos encontrar os valores próprios desta matriz.

Passo 14

Formamos a matriz :

Passo 15

Calculamos o determinante. Como a matriz é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 16

Igualamos o determinante a zero:
As soluções são:

Resposta

Os valores de são:

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a)
b)
c)