Ache os valores de , para os quais o sistema linear tem solução não trivial, em que:
а)
c) A=[cccc1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2]
b) A=[lll2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2]
d) A=[llll2 & 2 & 3 & 4 0 & 2 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem o sistema linear ter soluções não triviais. Isso significa que estamos procurando os valores próprios (ou autovalores) da matriz . Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e resolver a equação .
Passo 2
Vamos começar com a parte a), onde a matriz A = 2 & 0 & 0 3 & -1 & 0 0 & 4 & 3 é:
Primeiro, precisamos formar a matriz , onde é a matriz identidade de ordem (neste caso, 3).
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. No nosso caso, a matriz det(A - lambda I3) = (2 - lambda) times (-1 - lambda) times (3 - lambda) já é triangular superior, então:
Passo 4
Para encontrar os valores de (2 - lambda)(-1 - lambda)(3 - lambda) = 0 que satisfazem 2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2 , igualamos o determinante a zero:
-1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1
Isso nos dá as seguintes soluções:
3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 3
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), onde a matriz A = 2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 é:
Também precisamos encontrar os valores próprios dessa matriz seguindo o mesmo processo.
Calculamos o determinante. Como a matriz det(A - lambda I4) = (2 - lambda)(2 - lambda)(1 - lambda)(1 - lambda) é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal: