Dê as equações polares das seguintes curvas:
  • da elipse .

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para transformar a equação de uma elipse da forma em sua forma polar. A matéria aqui envolve coordenadas polares e conversão de equações entre sistemas de coordenadas. Vamos precisar lembrar como passar de coordenadas cartesianas para polares e aplicar isso na equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazemos a conversão de coordenadas cartesianas para polares. As relações básicas são:
Isso significa que podemos substituir e na equação da elipse por essas expressões em termos de e .

Passo 3

Vamos substituir e na equação da elipse:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos:
Podemos fatorar o :

Passo 5

Para isolar , dividimos ambos os lados pela expressão dentro dos parênteses:

Passo 6

Tomando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar :
No entanto, podemos simplificar isso. Vamos multiplicar numerador e denominador por :

Passo 7

Ou, escrito de forma mais simples:
Isso é a forma polar da equação da elipse dada.

Resposta

A equação polar da elipse é:

Exercícios relacionados

(ENADE-2014) Considere que uma tela é cortada por dois eixos, e , ortogonais entre si, formando um sistema de coordenadas com origem no centro da tela. Suponha que, nessa tela plana, existe a imagem de uma elipse com eixo e tamanha 4, paralelo ao eixo x, e cujos focos têm coordenadas ( e e (1,2). Considere T um operador linear definido no .Suponha que, em cada ponto da tela, seja aplicado o operador linear , quais serão as coordenadas dos focos da elipse após a aplicação de T?
Converta cada equação cartesiana para coordenada polar:
Ache os valores de , para os quais o sistema linear tem solução não trivial, em que:
а)
c)
b)
d)
b) A Escola considera o desempenho de uma turma satisfatório se pelo menos das notas estiverem distribuídas entre 4 (incluso) e 8 (excluso). A partir disso, podemos concluir que a turma teve um desempenho satisfatório? Justifique sua resposta.