(ENADE-2014) Considere que uma tela é cortada por dois eixos, x e y, ortogonais entre si, formando um sistema de coordenadas com origem no centro da tela. Suponha que, nessa tela plana, existe a imagem de uma elipse com eixo e tamanha 4, paralelo ao eixo x, e cujos focos têm coordenadas ( -1,2 e e (1,2). Considere T um operador linear definido no .Suponha que, em cada ponto da tela, seja aplicado o operador linear T(x, y)=(x+y,-2 x+4 y), quais serão as coordenadas dos focos da elipse após a aplicação de T?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma elipse desenhada em uma tela, com um sistema de coordenadas no centro. A elipse tem um eixo maior paralelo ao eixo x e tem focos nas coordenadas (-1, 2) e (1, 2). A gente precisa descobrir onde esses focos estarão depois que aplicarmos uma transformação linear, que é basicamente uma regra matemática para mudar as posições dos pontos na tela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente como aplicar operadores lineares a pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o operador linear T. Ele é definido por T(x, y) = (x + y, -2x + 4y). Isso significa que, para qualquer ponto (x, y) na tela, a transformação vai gerar um novo ponto cujas coordenadas são calculadas dessa forma.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse operador linear aos focos da elipse. Temos dois focos: F1 = (-1, 2) e F2 = (1, 2). Vamos calcular cada um separadamente.
Para o primeiro foco F1 = (-1, 2):
T(-1, 2) = (-1 + 2, -2(-1) + 4 times 2) = (1, 2 + 8) = (1, 10)
Para o segundo foco F2 = (1, 2):
T(1, 2) = (1 + 2, -2 times 1 + 4 times 2) = (3, -2 + 8) = (3, 6)

Resposta

Após aplicar o operador linear T, as coordenadas dos focos da elipse são (1, 10) e (3, 6).

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