(ENADE-2014) Considere que uma tela é cortada por dois eixos, e , ortogonais entre si, formando um sistema de coordenadas com origem no centro da tela. Suponha que, nessa tela plana, existe a imagem de uma elipse com eixo e tamanha 4, paralelo ao eixo x, e cujos focos têm coordenadas ( e e (1,2). Considere T um operador linear definido no .Suponha que, em cada ponto da tela, seja aplicado o operador linear , quais serão as coordenadas dos focos da elipse após a aplicação de T?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma elipse desenhada em uma tela, com um sistema de coordenadas no centro. A elipse tem um eixo maior paralelo ao eixo x e tem focos nas coordenadas e . A gente precisa descobrir onde esses focos estarão depois que aplicarmos uma transformação linear, que é basicamente uma regra matemática para mudar as posições dos pontos na tela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente como aplicar operadores lineares a pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o operador linear . Ele é definido por . Isso significa que, para qualquer ponto na tela, a transformação vai gerar um novo ponto cujas coordenadas são calculadas dessa forma.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse operador linear aos focos da elipse. Temos dois focos: e . Vamos calcular cada um separadamente.
Para o primeiro foco :
Para o segundo foco :

Resposta

Após aplicar o operador linear , as coordenadas dos focos da elipse são e .

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Converta cada equação cartesiana para coordenada polar:
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(v)
Dê as equações polares das seguintes curvas:
  • da elipse .
Ache os valores de , para os quais o sistema linear tem solução não trivial, em que:
а)
c)
b)
d)