Sejam as matrizes quadradas e de ordem 3. Se , calcule:
a)
b)
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas e de ordem 3, ou seja, são matrizes . A gente sabe que o determinante de é 2 ( ) e o de é 5 ( ). Precisamos calcular três expressões envolvendo determinantes:
a)
b)
c)
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes, como:
  • , onde é um escalar e é a ordem da matriz.
Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Letra a)
Primeiro, vamos entender como resolver isso. A expressão dentro do determinante é . Vamos usar as propriedades dos determinantes:
  1. Fator escalar: , onde (ordem é 3).
  2. Produto de matrizes:
  3. Potência de uma matriz:
Agora, aplicando essas propriedades:
  • Primeiro, extraímos o fator 4:
    Porque a dimensão .
  • Agora, lidamos com :
  • Substituindo os valores conhecidos:
    Então,
  • Voltando ao fator 4:
    Portanto,

Passo 3

Letra b)
Vamos calcular cada determinante separadamente e depois somar.
  1. Para :
    • Usamos a propriedade do fator escalar:
  2. Para :
    • Sabemos que:
  3. Somando os resultados:

Passo 4

Letra c)
Vamos resolver isso passo a passo.
  1. Transposta de uma matriz:
    • A propriedade nos diz que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original.
  2. Expressão dentro do determinante:
    Mas como determinante de transposta é igual ao da original, podemos simplificar:
  3. Fator escalar:
    Usando :
  4. Calculando o determinante completo:

Resposta

a)
b)
c)

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а)
c)
b)
d)
Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas:
а)
Se é uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 3, o valor da expressão vale quanto?