Sejam as matrizes quadradas A e B de ordem 3. Se det(A)=2 e det(B)=5, calcule:
a) det(4 A^2 B)
b) det(2 A)+det(B^-1)
c) det[(3 B A^-1)^t]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas e de ordem 3, ou seja, são matrizes . A gente sabe que o determinante de é 2 ( ) e o de é 5 ( ). Precisamos calcular três expressões envolvendo determinantes:
a)
b)
c)
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes, como:
  • , onde é um escalar e é a ordem da matriz.
Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Letra a) det(4 A^2 B) = 4^3 det(A^2 B)
Primeiro, vamos entender como resolver isso. A expressão dentro do determinante é det(A^2 B) = det(A^2) cdot det(B) = (det(A))^2 cdot det(B) . Vamos usar as propriedades dos determinantes:
  1. Fator escalar: (det(A))^2 = 2^2 = 4 , onde det(B) = 5 (ordem é 3).
  2. Produto de matrizes: det(A^2 B) = 4 cdot 5 = 20
  3. Potência de uma matriz: 4^3 = 64
Agora, aplicando essas propriedades:
  • Primeiro, extraímos o fator 4:
    det(4 A^2 B) = 64 cdot 20 = 1280
    Porque a dimensão .
  • Agora, lidamos com :
  • Substituindo os valores conhecidos:
    Então,
  • Voltando ao fator 4:
    Portanto,

Passo 3

Letra b) det(2 A) = 2^3 det(A) = 8 cdot 2 = 16
Vamos calcular cada determinante separadamente e depois somar.
  1. Para det(B^-1) = 1det(B) = 15 = 0,2 :
    • Usamos a propriedade do fator escalar: det(2 A) + det(B^-1) = 16 + 0,2 = 16,2
  2. Para :
    • Sabemos que:
  3. Somando os resultados:

Passo 4

Letra c) (3 B A^-1)^t = 3 (B A^-1)^t = 3 (A^-1)^t B^t
Vamos resolver isso passo a passo.
  1. Transposta de uma matriz:
    • A propriedade det[(3 B A^-1)^t] = det(3 B A^-1) nos diz que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original.
  2. Expressão dentro do determinante:
    det(3 B A^-1) = 3^3 det(B A^-1) = 27 cdot det(B) cdot det(A^-1)
    Mas como determinante de transposta é igual ao da original, podemos simplificar:
    det(B A^-1) = det(B) cdot 1det(A) = 5 cdot 12 = 2,5
  3. Fator escalar:
    det[(3 B A^-1)^t] = 27 cdot 2,5 = 67,5
    Usando :
  4. Calculando o determinante completo:

Resposta

a)
b)
c)

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