Sejam as matrizes quadradas e de ordem 3. Se , calcule:
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas e de ordem 3, ou seja, são matrizes . A gente sabe que o determinante de é 2 () e o de é 5 (). Precisamos calcular três expressões envolvendo determinantes:
a)
b)
c)
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes, como:
, onde é um escalar e é a ordem da matriz.
Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Letra a)
Primeiro, vamos entender como resolver isso. A expressão dentro do determinante é . Vamos usar as propriedades dos determinantes:
Fator escalar: , onde (ordem é 3).
Produto de matrizes:
Potência de uma matriz:
Agora, aplicando essas propriedades:
Primeiro, extraímos o fator 4:
Porque a dimensão .
Agora, lidamos com :
Substituindo os valores conhecidos:
Então,
Voltando ao fator 4:
Portanto,
Passo 3
Letra b)
Vamos calcular cada determinante separadamente e depois somar.
Para :
Usamos a propriedade do fator escalar:
Para :
Sabemos que:
Somando os resultados:
Passo 4
Letra c)
Vamos resolver isso passo a passo.
Transposta de uma matriz:
A propriedade nos diz que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original.
Expressão dentro do determinante:
Mas como determinante de transposta é igual ao da original, podemos simplificar: