Sejam as matrizes quadradas
e
de ordem 3. Se
, calcule:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas
e
de ordem 3, ou seja, são matrizes
. A gente sabe que o determinante de
é 2 (
) e o de
é 5 (
). Precisamos calcular três expressões envolvendo determinantes:
a)
b)
c)
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes, como:
-
, onde é um escalar e é a ordem da matriz. -
-
-
Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Letra a)
Primeiro, vamos entender como resolver isso. A expressão dentro do determinante é
. Vamos usar as propriedades dos determinantes:
- Fator escalar:
, onde (ordem é 3). - Produto de matrizes:
- Potência de uma matriz:
Agora, aplicando essas propriedades:
-
Primeiro, extraímos o fator 4:Porque a dimensão
. -
Agora, lidamos com
: -
Substituindo os valores conhecidos:Então,
-
Voltando ao fator 4:Portanto,
Passo 3
Letra b)
Vamos calcular cada determinante separadamente e depois somar.
-
Para
: - Usamos a propriedade do fator escalar:
- Usamos a propriedade do fator escalar:
-
Para
: - Sabemos que:
- Sabemos que:
-
Somando os resultados:
Passo 4
Letra c)
Vamos resolver isso passo a passo.
-
Transposta de uma matriz:
- A propriedade
nos diz que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original.
- A propriedade
-
Expressão dentro do determinante:Mas como determinante de transposta é igual ao da original, podemos simplificar:
-
Fator escalar:Usando
: -
Calculando o determinante completo:
Resposta
a)
b)
c)