Verifique se o seguinte cálculo está correto:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o cálculo do limite abaixo está correto:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites trigonométricos e analisar o comportamento das funções seno e cosseno perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse símbolo indica que estamos nos aproximando de
pela esquerda, ou seja, valores de
que são ligeiramente menores que
.
Passo 3
Vamos analisar cada função no limite:
-
Seno (
): Sabemos que . Próximo de , o seno é negativo porque passa de 0 para valores negativos à medida que aumenta além de . -
Cosseno (
): Temos que . Próximo de , o cosseno está se aproximando de -1.
Passo 4
Vamos agora avaliar o denominador da primeira fração:
Quando
se aproxima de
,
se aproxima de -1. Então:
Portanto, o denominador está se aproximando de 2.
Passo 5
Agora, vamos olhar para a fração inteira:
Conforme
se aproxima de
:
- O numerador
está se aproximando de 0 por valores negativos. - O denominador está se aproximando de 2.
Então, a fração está se aproximando de 0 por valores negativos:
Isso significa que o limite da primeira fração é 0.
Passo 6
Vamos verificar a segunda parte do cálculo:
Aqui, estamos invertendo o numerador e o denominador da primeira fração. Avaliando cada parte:
-
se aproxima de -1. -
se aproxima de 0 por valores negativos.
Então, a fração fica:
Porque dividir um número negativo por um número que está se aproximando de zero por valores negativos resulta em
.
Passo 7
Comparando as duas partes:
- A primeira fração tende a 0.
- A segunda fração tende a
.
Esses resultados são diferentes do que foi apresentado no exercício original, que afirma que ambas as frações tendem a
.
Resposta
Não, o cálculo não está correto. O primeiro limite tende a 0, e o segundo tende a
, não a
.
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da superfície da mancha em relação ao tempo
, sabendo que a taxa de variação do raio é
.
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, sendo
.
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pode admitir ponto de inflexão?
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(a) no intervalo
.
(b) no intervalo
.
© no intervalo
.
(d) no intervalo
.
(e) no intervalo
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)