Verifique se o seguinte cálculo está correto:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o cálculo do limite abaixo está correto:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites trigonométricos e analisar o comportamento das funções seno e cosseno perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse símbolo indica que estamos nos aproximando de pela esquerda, ou seja, valores de que são ligeiramente menores que .

Passo 3

Vamos analisar cada função no limite:
  1. Seno ( ): Sabemos que . Próximo de , o seno é negativo porque passa de 0 para valores negativos à medida que aumenta além de .
  2. Cosseno ( ): Temos que . Próximo de , o cosseno está se aproximando de -1.

Passo 4

Vamos agora avaliar o denominador da primeira fração:
Quando se aproxima de , se aproxima de -1. Então:
Portanto, o denominador está se aproximando de 2.

Passo 5

Agora, vamos olhar para a fração inteira:
Conforme se aproxima de :
  • O numerador está se aproximando de 0 por valores negativos.
  • O denominador está se aproximando de 2.
Então, a fração está se aproximando de 0 por valores negativos:
Isso significa que o limite da primeira fração é 0.

Passo 6

Vamos verificar a segunda parte do cálculo:
Aqui, estamos invertendo o numerador e o denominador da primeira fração. Avaliando cada parte:
  • se aproxima de -1.
  • se aproxima de 0 por valores negativos.
Então, a fração fica:
Porque dividir um número negativo por um número que está se aproximando de zero por valores negativos resulta em .

Passo 7

Comparando as duas partes:
  • A primeira fração tende a 0.
  • A segunda fração tende a .
Esses resultados são diferentes do que foi apresentado no exercício original, que afirma que ambas as frações tendem a .

Resposta

Não, o cálculo não está correto. O primeiro limite tende a 0, e o segundo tende a , não a .

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(d) no intervalo .
(e) no intervalo .