Ache os valores máximos e mínimos absolutos da função
no intervalo fechado
e indique os respectivos pontos de máximo e mínimo desta função .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos dessa função no intervalo fechado de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre como encontrar máximos e mínimos de funções em intervalos fechados. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar os pontos críticos e também avaliar a função nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. Usando a regra da potência:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, a derivada
existe para todo
, então vamos igualar a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Mas atenção! Nosso intervalo é de
, e
está fora desse intervalo. Isso significa que dentro do intervalo
, não temos pontos críticos. Portanto, os candidatos para máximos e mínimos absolutos são apenas os extremos do intervalo, ou seja, os pontos
e
.
Passo 5
Vamos calcular os valores da função nesses pontos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Comparando os valores obtidos:
Como estamos procurando o valor máximo absoluto, o maior valor é 625, que ocorre em
. O valor mínimo absoluto é 81, que ocorre em
.
Resposta
O valor máximo absoluto da função
no intervalo
é 625, ocorrendo no ponto
. O valor mínimo absoluto é 81, ocorrendo no ponto
.
Exercícios relacionados
Sabendo-se que a equação
define implicitamente
, calcule
por derivação implícita.
Calcular as derivadas das funções:
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Verifique se o campo vetorial
é onservativo. Caso positivo, encontre a função potencial para
.