Sabendo-se que a equação
define implicitamente
, calcule
por derivação implícita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação
e pede para encontrarmos
usando derivação implícita. Isso significa que
é uma função de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde
está misturado com
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. A equação original é:
Ao derivar, o lado direito é uma constante, então sua derivada será zero:
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado esquerdo. Temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar esse produto, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Então,
Sabemos que
, então a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Aqui, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de
é
, onde
.
Então,
Passo 5
Vamos agora derivar
em relação a
. A derivada de
é
e a derivada de
usa a Regra da Cadeia:
Portanto,
Passo 6
Substituindo de volta na derivada da exponencial, temos:
Agora, voltando à Regra do Produto que fizemos no Passo 3:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Fatorando
:
Passo 8
Agora, isolamos o termo que contém
:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando
:
Resposta
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Calcular as derivadas das funções:
Calcular as derivadas das funções:
Ache os valores máximos e mínimos absolutos da função
no intervalo fechado
e indique os respectivos pontos de máximo e mínimo desta função .
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.