Sabendo-se que a equação define implicitamente , calcule por derivação implícita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação e pede para encontrarmos usando derivação implícita. Isso significa que é uma função de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde está misturado com .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . A equação original é:
Ao derivar, o lado direito é uma constante, então sua derivada será zero:

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado esquerdo. Temos um produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e .
Então,
Sabemos que , então a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de é , onde .
Então,

Passo 5

Vamos agora derivar em relação a . A derivada de é e a derivada de usa a Regra da Cadeia:
Portanto,

Passo 6

Substituindo de volta na derivada da exponencial, temos:
Agora, voltando à Regra do Produto que fizemos no Passo 3:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Fatorando :

Passo 8

Agora, isolamos o termo que contém :

Passo 9

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Simplificando :

Resposta

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Ache os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo fechado e indique os respectivos pontos de máximo e mínimo desta função .
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