Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que esboçar a região de integração e calcular a integral iterada . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Se for mais fácil, podemos inverter a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida para variando de 0 a 2 e, para cada valor de , varia de 0 a . Isso significa que a região está limitada por:
Vamos esboçar isso no plano . A curva é uma exponencial crescente que passa por (0,1) e (2, ).

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral na ordem dada, ou seja, primeiro em relação a e depois em relação a .
A integral é:
Integrando em relação a primeiro:

Passo 4

Agora, substituímos essa resultado na integral externa:
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Se a gente quiser, podemos inverter a ordem de integração para ver como faz. Originalmente, era , vamos mudar para .
Para isso, precisamos reescrever os limites. Observando a região, vai de 0 até . Para um valor fixo de , vai de 0 até (já que implica ).
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular essa nova integral. Primeiro, integraremos em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:
Para integrar , usamos a integração por partes:
Aplicando os limites de 0 a :

Resposta

A integral iterada vale .

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