Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que esboçar a região de integração e calcular a integral iterada . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Se for mais fácil, podemos inverter a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida para variando de 0 a 2 e, para cada valor de , varia de 0 a . Isso significa que a região está limitada por:
Vamos esboçar isso no plano . A curva é uma exponencial crescente que passa por (0,1) e (2, ).
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral na ordem dada, ou seja, primeiro em relação a e depois em relação a .
A integral é:
Integrando em relação a primeiro:
Passo 4
Agora, substituímos essa resultado na integral externa:
integral0^2 e^x , dx
A integral de e^x |0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 em relação a é , então:
Passo 5
Se a gente quiser, podemos inverter a ordem de integração para ver como faz. Originalmente, era integral0^e^2 integral0^ln y dx , dy , vamos mudar para .
Para isso, precisamos reescrever os limites. Observando a região, vai de 0 até . Para um valor fixo de , vai de 0 até (já que implica ).
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular essa nova integral. Primeiro, integraremos em relação a integral0^ln y dx = x |0^ln y = ln y - 0 = ln y :
Passo 7
Agora, substituímos na integral externa:
integral0^e^2 ln y , dy
Para integrar integral ln y , dy = y ln y - y + C , usamos a integração por partes: