Verifique se o campo vetorial F = (e^x * ln(y), e^x/y + sen(z), y * cos(z)) é onservativo. Caso positivo, encontre a função potencial para F = F.

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se o campo vetorial é conservativo. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar se um campo vetorial é conservativo e, se for, como encontrar a função potencial correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existir uma função tal que . Uma maneira de verificar se o campo é conservativo é checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular:
Portanto, .

Passo 5

Por fim, calculamos:
Então, .

Passo 6

Como todas as derivadas parciais cruzadas são iguais, podemos concluir que o campo vetorial é conservativo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a :

Passo 8

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que:
Integrando em relação a :

Passo 9

Agora, substituímos na função :
Vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso nos mostra que , ou seja, é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A função potencial para o campo vetorial é:

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