Verifique se o campo vetorial
é onservativo. Caso positivo, encontre a função potencial para
.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar se um campo vetorial é conservativo e, se for, como encontrar a função potencial correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existir uma função
tal que
. Uma maneira de verificar se o campo é conservativo é checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular:
Portanto,
.
Passo 5
Por fim, calculamos:
Então,
.
Passo 6
Como todas as derivadas parciais cruzadas são iguais, podemos concluir que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Agora, substituímos
na função
:
Vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso nos mostra que
, ou seja,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A função potencial para o campo vetorial
é:
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Ache os valores máximos e mínimos absolutos da função
no intervalo fechado
e indique os respectivos pontos de máximo e mínimo desta função .
Encontre o fluxo do campo vetorial
ao longo da ircunferência
.
Calcule a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio
, sendo a densidade superficial no ponto
proporcional à distância do ponto ao centro do círculo.