Ache os valores de para os quais a Série é absolutamente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de para os quais a série converge absolutamente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e série geométrica, especialmente focando em quando uma série absolutamente converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. No nosso caso, temos:
Então, precisamos analisar a série .
Passo 3
Esse tipo de série é semelhante à série logarítmica, que é conhecida por ser:
sumn=1^infty y^nn
Sabemos que essa série converge quando e diverge quando .
Passo 4
No nosso caso, |x-2| < 1 . Portanto, para que a série converja, precisamos que:
Passo 5
Agora, vamos resolver a inequação -1 < x-2 < 1 :
1 < x < 3
Somando 2 em todos os lados:
Passo 6
Então, concluímos que a série converge absolutamente para todos os valores de que satisfazem .
Resposta
A série é absolutamente convergente para todos os valores de tais que .