Ache os valores de x para os quais a Série sumn=1^infty(-1)^n+1 (x-2)^nn é absolutamente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de para os quais a série converge absolutamente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e série geométrica, especialmente focando em quando uma série absolutamente converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série sumn=1^infty | (-1)^n+1 (x-2)^nn | = sumn=1^infty |x-2|^nn converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. No nosso caso, temos:
Então, precisamos analisar a série .

Passo 3

Esse tipo de série é semelhante à série logarítmica, que é conhecida por ser:
sumn=1^infty y^nn
Sabemos que essa série converge quando e diverge quando .

Passo 4

No nosso caso, |x-2| < 1 . Portanto, para que a série converja, precisamos que:

Passo 5

Agora, vamos resolver a inequação -1 < x-2 < 1 :
1 < x < 3
Somando 2 em todos os lados:

Passo 6

Então, concluímos que a série converge absolutamente para todos os valores de que satisfazem .

Resposta

A série é absolutamente convergente para todos os valores de tais que .

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