Ache os valores de x para os quais a Série sumn=1^infty(-1)^n+1 (x-2)^nn e ache seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de para os quais a série converge e também determinar o raio de convergência dessa série. Estamos lidando com séries de potências e convergência de séries, então vamos usar algumas ferramentas dessas áreas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência usando o Teste da Razão. O raio de convergência nos diz até onde a série converge em torno do ponto central, que aqui é L = limn to infty | an+1an | .
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre termos consecutivos da série quando an+1an = (-1)^(n+1)+1 (x-2)^n+1n+1(-1)^n+1 (x-2)^nn = -(x-2)n+1 cdot n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Vamos aplicar isso:
L = limn to infty | (x-2) cdot nn+1 | = |x-2| cdot limn to infty nn+1 = |x-2| cdot 1 = |x-2|
Onde |x - 2| < 1 .
Calculando:
Tomando o valor absoluto e o limite:
Para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Passo 3

Agora que sabemos que 1 < x < 3 , sabemos que a série converge para valores de sumn=1^infty(-1)^n+1 (1-2)^nn = sumn=1^infty(-1)^n+1 (-1)^nn = sumn=1^infty (-1)^2n+1n = -sumn=1^infty 1n que satisfazem sumn=1^infty(-1)^n+1 (3-2)^nn = sumn=1^infty(-1)^n+1 1n , ou seja:
Mas precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série também converge nesses valores.
  • Para :
A série se torna:
Essa é a série harmônica negativa, que não converge.
  • Para :
A série se torna:
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

Os valores de para os quais a série converge são todos os reais tais que , e o raio de convergência é .

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