Ache os valores de x para os quais a Série sumn=1^infty(-1)^n+1 (x-2)^nn é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar os valores de que fazem a série convergir. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especialmente séries alternadas. Para isso, vamos precisar entender os testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série dada: . Essa é uma série alternada porque o termo faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo alternadamente. Para testar a convergência, podemos usar dois testes: o Teste da Série Alternada e verificar a convergência absoluta.

Passo 3

Vamos começar pelo Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero quando vai para infinito, então a série alternada converge. Vamos verificar:
  1. Decrescimento: diminui se .
  2. Limite: se .
Então, a série converge se , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência absoluta. A série converge absolutamente se convergir. Essa série é semelhante à série do logaritmo natural e converge se . Ou seja, para , a série converge absolutamente.

Passo 5

Finalmente, precisamos checar os pontos extremos e :
  • Para : A série fica , que é a série harmônica alternada e converge.
  • Para : A série fica , que é a série harmônica que diverge.

Resposta

A série é convergente para todos os valores de que satisfazem .

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