Ache os valores de
para os quais a Série
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar os valores de
que fazem a série
convergir. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especialmente séries alternadas. Para isso, vamos precisar entender os testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série dada:
. Essa é uma série alternada porque o termo
faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo alternadamente. Para testar a convergência, podemos usar dois testes: o Teste da Série Alternada e verificar a convergência absoluta.
Passo 3
Vamos começar pelo Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos
são decrescentes e tendem a zero quando
vai para infinito, então a série alternada converge. Vamos verificar:
- Decrescimento:
diminui se . - Limite:
se .
Então, a série converge se
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a convergência absoluta. A série converge absolutamente se
convergir. Essa série é semelhante à série do logaritmo natural e converge se
. Ou seja, para
, a série converge absolutamente.
Passo 5
Finalmente, precisamos checar os pontos extremos
e
:
- Para
: A série fica , que é a série harmônica alternada e converge. - Para
: A série fica , que é a série harmônica que diverge.
Resposta
A série
é convergente para todos os valores de
que satisfazem
.